Merhaba sevgili öğrencilerim, matematik dersimize hoş geldiniz! Bugün sizlerle birlikte “Sayılar ve İşlemler ile Kümeler” konusundaki bazı soruları çözeceğiz. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, anlamadığınız bir yer olursa hiç çekinmeden sorun. Amacımız birlikte öğrenmek.
18. Soru: Aşağıdaki doğal sayılardan hangisi, iki basamaklı en büyük asal sayıdır?
A) 91
B) 93
C) 97
D) 99
Harika bir soru! Önce asal sayının ne olduğunu hatırlayalım. Asal sayı, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen, 1’den büyük doğal sayılardır. Mesela 2, 3, 5, 7 gibi… Şimdi şıkları tek tek inceleyelim.
- Adım 1: 99 sayısını inceleyelim. 99, 3’e, 9’a, 11’e bölünebilir. Bu yüzden asal değildir.
- Adım 2: En büyük sayıyı aradığımız için şıklarda geriye doğru gidelim. 97 sayısını inceleyelim. 97’yi 2, 3, 5, 7 gibi bildiğimiz asal sayılara bölmeyi deneyelim. Hiçbirine tam bölünmediğini göreceksiniz. Bu yüzden 97 bir asal sayıdır.
- Adım 3: 93 sayısına bakalım. Rakamları toplamı 9 + 3 = 12’dir. 12, 3’ün katı olduğu için 93 sayısı 3’e tam bölünür. Yani asal değildir.
- Adım 4: 91 sayısı biraz tuzak bir sayıdır, dikkatli olalım! 91 sayısı 7’ye tam bölünür (91 = 7 x 13). Bu yüzden asal değildir.
Gördüğümüz gibi, şıklar arasındaki en büyük asal sayı 97’dir.
Sonuç: C) 97
19. Soru: 144 ile 36 sayılarının ortak bölenlerini yazınız.
Ortak bölen, her iki sayıyı da kalansız bölebilen sayılar demektir. Bu soruyu çözmenin kolay bir yolu var.
- Adım 1: Önce küçük olan sayının, yani 36’nın bölenlerini (çarpanlarını) bulalım. Bir sayıyı hangi iki sayının çarpımı olarak yazabiliyorsak, o sayılar o sayının bölenidir.
- 1 x 36
- 2 x 18
- 3 x 12
- 4 x 9
- 6 x 6
Yani 36’nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
- Adım 2: Şimdi bu bölenlerin, 144’ü de tam bölüp bölmediğini kontrol edelim. Burada güzel bir ipucu var: 144, 36’nın tam 4 katıdır (144 = 36 x 4). Bir sayı, diğerinin katı ise, küçük sayının tüm bölenleri aynı zamanda büyük sayının da bölenidir.
- Adım 3: Bu durumda 36’nın bütün bölenleri, 144’ü de tam olarak böler. O zaman ortak bölenlerimiz, 36’nın bölenlerinin hepsi olur.
Sonuç: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
20. Soru: 36 ile 45 sayılarının ortak katlarından 8 tanesini yazınız.
Ortak kat, her iki sayının da katı olan sayılardır. Ortak katları bulmak için önce En Küçük Ortak Kat’ı (EKOK) bulmalıyız. EKOK’u bulduktan sonra onun katlarını alarak diğer ortak katları kolayca bulabiliriz.
- Adım 1: 36 ve 45’in EKOK’unu asal çarpan algoritması ile bulalım.
36 45 | 2
18 45 | 2
9 45 | 3
3 15 | 3
1 5 | 5
1 1 |Şimdi yandaki asal sayıları çarpalım: EKOK(36, 45) = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180.
- Adım 2: En küçük ortak katımız 180. Diğer ortak katlar, 180’in katları olacaktır. Bizden 8 tane istendiği için 180’in ilk 8 katını yazalım.
- 180 x 1 = 180
- 180 x 2 = 360
- 180 x 3 = 540
- 180 x 4 = 720
- 180 x 5 = 900
- 180 x 6 = 1080
- 180 x 7 = 1260
- 180 x 8 = 1440
Sonuç: 180, 360, 540, 720, 900, 1080, 1260, 1440
21. Soru: Yukarıda numaralandırılmış ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
I. 21 sayısının çarpanları 1, 3, 7 ve 21’dir.
II. 36 sayısının sekiz adet çarpanı vardır.
III. 100’den küçük olan en büyük asal sayı 89’dur.
IV. En küçük asal sayı 2’dir.
Bu soruda her bir ifadeyi “doğru” mu “yanlış” mı diye kontrol edeceğiz.
- I. ifade: 21’in çarpanlarını (bölenlerini) bulalım. 1×21 ve 3×7. Evet, çarpanları 1, 3, 7 ve 21’dir. Bu ifade DOĞRU.
- II. ifade: 36’nın çarpanlarını sayalım. Yukarıdaki 19. soruda bulmuştuk: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Saydığımızda tam 9 tane olduğunu görüyoruz. İfade ise “sekiz adet” diyor. Bu ifade YANLIŞ.
- III. ifade: 100’den küçük en büyük asal sayıyı 18. soruda bulmuştuk, hatırladınız mı? Cevap 97 idi. İfade ise 89 diyor. Bu ifade YANLIŞ.
- IV. ifade: Asal sayılar 2’den başlar: 2, 3, 5, 7… En küçüğü 2’dir ve 2 aynı zamanda tek çift asal sayıdır. Bu ifade DOĞRU.
Sonuç olarak I. ve IV. ifadeler, yani toplamda 2 tane ifade doğrudur.
Sonuç: B) 2
22. Soru: 20 ile 35 sayılarının üç basamaklı ……………. tane ortak katı vardır.
Yine bir ortak kat sorusu! Stratejimiz aynı: önce EKOK’u bul, sonra katlarını al ve istenen şartı (üç basamaklı olmasını) sağlayanları say.
- Adım 1: 20 ve 35’in EKOK’unu bulalım.
20 35 | 2
10 35 | 2
5 35 | 5
1 7 | 7
1 1 |EKOK(20, 35) = 2 x 2 x 5 x 7 = 140.
- Adım 2: Şimdi 140’ın katlarını yazalım ve hangileri üç basamaklı diye bakalım. Üç basamaklı sayılar 100 ile 999 arasındadır.
- 140 x 1 = 140 (Evet)
- 140 x 2 = 280 (Evet)
- 140 x 3 = 420 (Evet)
- 140 x 4 = 560 (Evet)
- 140 x 5 = 700 (Evet)
- 140 x 6 = 840 (Evet)
- 140 x 7 = 980 (Evet)
- 140 x 8 = 1120 (Hayır, bu dört basamaklı)
- Adım 3: Üç basamaklı olanları sayalım. Toplam 7 tane ortak kat bulduk.
Sonuç: Noktalı yere 7 yazılmalıdır.
23. Soru: 30 ile 75 sayılarının bir basamaklı ……………. tane ortak böleni vardır.
Bu sefer de ortak bölen bulacağız ama bir şartımız var: bir basamaklı olacaklar!
- Adım 1: Küçük olan sayının, yani 30’un, bölenlerini bulalım.
30’un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
- Adım 2: Bu bölenlerden hangileri 75’i de tam böler?
- 75 ÷ 1 = 75 (Evet)
- 75, 2’ye bölünmez.
- 75 ÷ 3 = 25 (Evet)
- 75 ÷ 5 = 15 (Evet)
- 75, 6’ya bölünmez.
- Diğer bölenler (10, 15, 30) de 75’i tam bölmez, sadece 15 böler.
Ortak bölenler: 1, 3, 5, 15.
- Adım 3: Soru bizden “bir basamaklı” olanları istiyor. Listemizdeki sayılardan hangileri bir basamaklı? 1, 3 ve 5.
- Adım 4: Saydığımızda 3 tane olduğunu görüyoruz.
Sonuç: Noktalı yere 3 yazılmalıdır.
24. Soru: M = {1, 2, a, b, ∆, □} ve N = {1, 3, a, d, ∆, ☆}
Yanda verilen M ve N kümelerinin elemanlarını sembol kullanarak belirtiniz. M∩N ve M∪N kümelerini, liste yöntemi ile gösteriniz.
Kümeler konusunun en zevkli kısımlarından biri! Kesişim ve birleşim…
- Adım 1: Kesişim (M∩N) Kümesini Bulalım
Kesişim, her iki kümede de ortak olarak bulunan elemanlar demektir. M ve N kümelerine bakıp aynı olan elemanları işaretleyelim.
M = {1, 2, a, b, ∆, □}
N = {1, 3, a, d, ∆, ☆}Ortak elemanlar 1, a, ve ∆’dır.
Sonuç (Kesişim): M ∩ N = {1, a, ∆}
- Adım 2: Birleşim (M∪N) Kümesini Bulalım
Birleşim, her iki kümedeki bütün elemanları bir araya getirmek demektir. Ama dikkat, bir elemanı sadece bir kere yazarız!
Önce M kümesinin bütün elemanlarını yazalım: {1, 2, a, b, ∆, □}
Şimdi N kümesinden, M’de olmayan elemanları ekleyelim: 3, d, ☆Hepsini bir araya getirelim.
Sonuç (Birleşim): M ∪ N = {1, 2, 3, a, b, d, ∆, □, ☆}
25. Soru: Venn şeması yöntemi ile yanda gösterilen P ve R kümelerine göre s(P), s(R), s(P∩R) ve s(P∪R) değerlerini bulunuz.
Venn şeması okumak çok kolaydır. “s” harfi, o kümenin “eleman sayısı” demektir. Sadece şeklin içindeki noktaları sayacağız.
- s(P): P çemberinin içinde kaç tane eleman var? Hepsini sayalım: ∆, □, ☆, a, b. Toplam 5 eleman.
s(P) = 5
- s(R): R çemberinin içinde kaç tane eleman var? Sayalım: a, b, 1. Toplam 3 eleman.
s(R) = 3
- s(P∩R): Bu, P ve R’nin kesişimi, yani her iki çemberin de içinde olan ortak bölgedeki eleman sayısı demektir. Ortadaki bölgede a ve b var. Toplam 2 eleman.
s(P ∩ R) = 2
- s(P∪R): Bu da P ve R’nin birleşimi, yani iki çemberin içinde gördüğümüz bütün elemanların sayısıdır. Sayalım: ∆, □, ☆, a, b, 1. Toplam 6 eleman.
s(P ∪ R) = 6
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Matematik pratik yaparak öğrenilir, bu yüzden bol bol soru çözmeyi unutmayın. Başarılar dilerim!