Merhaba sevgili öğrencilerim,
Harika bir çalışma sayfası! Kümeler konusunu pekiştirmek için çok güzel sorular var. Haydi gelin, bu soruları birlikte adım adım, tane tane çözelim. Anlamadığınız bir yer olursa hiç çekinmeyin, tekrar üzerinden geçeriz.
***
2. Soru: Aşağıda ortak özellik yöntemiyle verilen kümeleri liste yöntemi ve Venn şemasıyla gösteriniz.
Bu soruda bizden, tanımı verilen kümelerin elemanlarını tek tek yazmamız (buna liste yöntemi diyoruz) ve sonra da bu elemanları bir şema içinde göstermemiz (buna da Venn şeması diyoruz) isteniyor.
- a) A = {Alfabemizin ilk 10 harfi}
Çözüm:
Adım 1 (Liste Yöntemi): Alfabemizi saymaya başlayalım ve ilk 10 harfi yazalım. Unutmayın, küme elemanlarını yazarken aralarına virgül koyup `{ }` parantezleri içine alırız.
A = {A, B, C, Ç, D, E, F, G, Ğ, H}
Adım 2 (Venn Şeması): Bir kapalı şekil (genellikle bir daire veya elips çizeriz) çiziyoruz. Bu şeklin dışına kümenin adını, yani “A” yazarız. İçine de bulduğumuz her bir harfin yanına bir nokta koyarak yazarız.
(Defterinize bir daire çizip içine •A, •B, •C, •Ç, •D, •E, •F, •G, •Ğ, •H şeklinde yazabilirsiniz.)
- b) B = {MİLLET sözcüğünü oluşturan harfler}
Çözüm:
Adım 1 (Liste Yöntemi): Burada çok önemli bir kuralı hatırlamalıyız: Bir kümenin içine aynı eleman birden fazla yazılamaz! “MİLLET” kelimesinde L harfi iki kere geçiyor ama biz kümeye sadece bir tane L yazacağız.
B = {M, İ, L, E, T}
Adım 2 (Venn Şeması): Yine bir kapalı şekil çizip adını “B” koyuyoruz. İçine de bulduğumuz harfleri başlarına nokta koyarak yerleştiriyoruz.
(Defterinize bir daire çizip içine •M, •İ, •L, •E, •T şeklinde yazabilirsiniz.)
- c) C = {19’dan küçük çift doğal sayılar}
Çözüm:
Adım 1 (Liste Yöntemi): 19’dan küçük olan çift doğal sayıları düşünelim. Doğal sayılar 0’dan başlar, unutmayalım! 0 da çift bir sayıdır.
C = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
Adım 2 (Venn Şeması): C kümesi için bir daire çizip içine bu sayıları noktalarıyla birlikte yazıyoruz.
(Defterinize bir daire çizip içine •0, •2, •4, •6, •8, •10, •12, •14, •16, •18 şeklinde yazabilirsiniz.)
- ç) Ç = {20 ile 45 arasındaki tek doğal sayılar}
Çözüm:
Adım 1 (Liste Yöntemi): 20’den sonra gelen ve 45’ten önce biten tek sayıları bulalım.
Ç = {21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43}
Adım 2 (Venn Şeması): Ç kümesi için de bir kapalı şekil çizip tüm bu sayıları içine noktalarıyla birlikte yerleştirelim.
(Bu kümenin eleman sayısı biraz fazla olduğu için daha büyük bir daire çizebilirsiniz.)
***
3. Soru: A = {61 ile 85 arasında ve 4 ile bölünebilen doğal sayılar} kümesi için aşağıdaki ifadelerden doğru olanın başına “D”, yanlış olanın başına “Y” yazınız.
Çözüm:
Adım 1: Önce A kümesinin elemanlarını bulalım. Yani 61’den büyük, 85’ten küçük, 4’ün katı olan sayıları listeleyelim.
- 4 x 15 = 60 (61’den küçük, olmaz)
- 4 x 16 = 64 (Evet!)
- 4 x 17 = 68 (Evet!)
- 4 x 18 = 72 (Evet!)
- 4 x 19 = 76 (Evet!)
- 4 x 20 = 80 (Evet!)
- 4 x 21 = 84 (Evet!)
- 4 x 22 = 88 (85’ten büyük, olmaz)
Demek ki A kümemiz: A = {64, 68, 72, 76, 80, 84}. Bu kümenin eleman sayısı, yani s(A) = 6’dır.
Adım 2: Şimdi ifadelere bakalım.
- ( D ) 72 ∈ A → “72, A kümesinin elemanıdır.” Bakıyoruz, listemizde 72 var. O zaman bu ifade Doğru.
- ( Y ) 68 ∉ A → “68, A kümesinin elemanı değildir.” Bakıyoruz, listemizde 68 var. O zaman bu ifade Yanlış.
- ( Y ) s(A) = 8 → “A kümesinin eleman sayısı 8’dir.” Biz eleman sayısını 6 bulduk. O zaman bu ifade Yanlış.
- ( D ) s(A) < 7 → "A kümesinin eleman sayısı 7'den küçüktür." Eleman sayımız 6. 6, 7'den küçük mü? Evet. O zaman bu ifade Doğru.
***
4. Soru: Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bularak noktalı yerleri tamamlayınız.
Çözüm:
Burada yapmamız gereken tek şey, `{ }` parantezlerinin içindeki elemanları saymak. s(A) demek, “A kümesinin eleman sayısı” demektir.
- A = {a,b,c} ise s(A) = 3(İçinde a, b, c olmak üzere 3 tane harf var.)
- D = {1,2,3,4,5} ise s(D) = 5(İçinde 5 tane rakam var.)
- F = { } ise s(F) = 0(İçinde hiç eleman yok. Bu kümeye boş küme diyoruz.)
- G = {∅} ise s(G) = 1
Öğretmen Notu: Bu çok önemli bir nokta çocuklar! F kümesi boş bir kutu gibidir, içinde hiçbir şey yok. Ama G kümesi, içinde “boş küme” sembolü olan bir kutu gibidir. Yani kutunun içinde bir şey var, o da bir sembol. Bu yüzden eleman sayısı 1’dir. Sakın karıştırmayın!
- H = {▲, ★, □, O} ise s(H) = 4(İçinde 4 tane farklı şekil var.)
***
5. Soru: A = {Rakamlar} ve B = {15’ten küçük çift doğal sayılar} kümeleri veriliyor. Buna göre A ∩ B ve A ∪ B kümelerini liste yöntemi ve Venn şemasıyla gösteriniz.
Çözüm:
Adım 1: Kümelerin elemanlarını yazalım.
A kümesi rakamlardan oluşuyor. Rakamlar: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B kümesi 15’ten küçük çift doğal sayılardan oluşuyor: B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}
Adım 2: Kesişim kümesini (A ∩ B) bulalım.
Kesişim (∩), “her iki kümede de ortak olan elemanlar” demektir. Hem A’da hem de B’de olan sayıları bulalım.
A ∩ B = {0, 2, 4, 6, 8}
Adım 3: Birleşim kümesini (A ∪ B) bulalım.
Birleşim (∪), “iki kümedeki bütün elemanların bir araya getirilmesi” demektir. Unutmayın, ortak olanları sadece bir kez yazarız!
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14}
Adım 4: Venn Şeması ile gösterim.
Bu iki kümenin ortak elemanları olduğu için iç içe geçmiş iki daire çizeriz.
- İki dairenin kesiştiği orta bölüme, kesişim kümesinin elemanlarını yazarız: {0, 2, 4, 6, 8}
- Sadece A’ya ait olan elemanları (kesişimdekiler hariç) A dairesinin sol tarafına yazarız: {1, 3, 5, 7, 9}
- Sadece B’ye ait olan elemanları (kesişimdekiler hariç) B dairesinin sağ tarafına yazarız: {10, 12, 14}
Bu çizdiğimiz şema, hem kesişim hem de birleşim kümesini aynı anda göstermiş olur.
***
6. Soru: Olimpiyat sporlarını, yaz ve kış olimpiyat sporları olarak iki kümeye ayırınız. Kümeleri, liste ve Venn şeması yöntemleriyle gösteriniz (Olimpiyat sporlarını araştırırken İnternet’ten yararlanabilirsiniz).
Çözüm:
Bu bir araştırma sorusu. İnternetten veya kitaplardan yardım alarak kendiniz de farklı listeler oluşturabilirsiniz. Ben size örnek bir liste yapayım.
Adım 1: Kümeleri ve elemanlarını belirleyelim.
Yaz olimpiyat sporları için Y kümesi, Kış olimpiyat sporları için K kümesi diyelim.
Y = {Yüzme, Atletizm, Basketbol, Voleybol, Jimnastik, Okçuluk}
K = {Kayak, Buz Hokeyi, Artistik Buz Pateni, Körling}
Adım 2: Venn Şeması ile gösterim.
Şimdi düşünelim, bir spor hem yaz hem de kış olimpiyatında yer alır mı? Hayır. Bu sporlar birbirinden tamamen farklıdır. Yani bu iki kümenin hiç ortak elemanı yoktur. Ortak elemanı olmayan kümelere biz ayrık kümeler deriz.
Bu yüzden Venn şemasını çizerken, birbirine hiç değmeyen, tamamen ayrı iki daire çizeriz.
- Birinci dairenin adını “Y” koyup içine yaz sporlarını yazarız.
- İkinci dairenin adını “K” koyup içine kış sporlarını yazarız.
Böylece ayrık kümeleri şema ile göstermiş oluruz.
***
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Kümeler konusu hem zevkli hem de matematiğin temelini oluşturan önemli bir konudur. Bol bol pratik yapmayı unutmayın! Başarılar dilerim