Harika bir istek! 6. sınıf matematik sorularını birlikte adım adım inceleyelim ve çözelim. Unutma, matematik eğlenceli bir yolculuktur ve her soruyu çözdükçe daha da keyif alacaksın!
***
Soru 15: Aşağıda verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?
Bu soruda bize verilen dört farklı ifade var ve bunlardan hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Kesirleri yarım (1/2) ile karşılaştırarak doğruyu bulacağız.
- A) $frac{7}{8}$ kesri yarımdan büyüktür.
Yarım demek 1/2 demektir. 1/2’yi 4/8 şeklinde düşünebiliriz. $frac{7}{8}$ kesri $frac{4}{8}$’den büyük olduğu için bu ifade doğrudur.
- B) $frac{5}{12}$ kesri yarımdan küçüktür.
Yarım 1/2’dir. 1/2’yi 6/12 şeklinde yazabiliriz. $frac{5}{12}$ kesri $frac{6}{12}$’den küçük olduğu için bu ifade de doğrudur.
- C) $frac{2}{8}$ kesri yarıma $frac{1}{4}$ kadar yakındır.
Öncelikle $frac{2}{8}$ kesrini sadeleştirelim. Bu kesir $frac{1}{4}$’e eşittir. Yarım ise $frac{1}{2}$’dir. $frac{1}{2}$’den $frac{1}{4}$’ü çıkarırsak $frac{2}{4} – frac{1}{4} = frac{1}{4}$ kalır. Yani $frac{1}{4}$ kesri yarıma $frac{1}{4}$ kadar yakındır. Bu ifade de doğrudur.
- D) $frac{21}{46}$ kesri yarıma eşittir.
Yarım demek 1/2 demektir. $frac{21}{46}$ kesrinin paydası 46’dır. Eğer bu kesir yarıma eşit olsaydı, paydasının yarısı olan 23’e eşit olması gerekirdi. Yani $frac{23}{46}$ olmalıydı. $frac{21}{46}$ kesri $frac{23}{46}$’dan küçük olduğu için yarıma eşit değildir. Bu ifade yanlıştır.
Yanlış olan ifade D şıkkıdır.
***
Soru 16: Aşağıda verilen kesirlerden hangisi 5 sayısına en yakındır?
Bu soruda verilen kesirlerin hangisinin 5’e en yakın olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunun için her bir kesri tam sayılı kesre çevirip 5 ile arasındaki farkı bulacağız.
- A) $4frac{5}{6}$
Bu kesir 4 ile 5 arasındadır. 5’e olan uzaklığını bulalım: $5 – 4frac{5}{6} = 5 – (4 + frac{5}{6}) = 5 – 4 – frac{5}{6} = 1 – frac{5}{6} = frac{6}{6} – frac{5}{6} = frac{1}{6}$
- B) $5frac{3}{4}$
Bu kesir zaten 5’ten büyüktür. 5’e olan uzaklığını bulalım: $5frac{3}{4} – 5 = (5 + frac{3}{4}) – 5 = frac{3}{4}$
- C) $5frac{1}{8}$
Bu kesir de 5’ten büyüktür. 5’e olan uzaklığını bulalım: $5frac{1}{8} – 5 = (5 + frac{1}{8}) – 5 = frac{1}{8}$
- D) $5frac{8}{9}$
Bu kesir de 5’ten büyüktür. 5’e olan uzaklığını bulalım: $5frac{8}{9} – 5 = (5 + frac{8}{9}) – 5 = frac{8}{9}$
Şimdi bulduğumuz uzaklıkları karşılaştıralım: $frac{1}{6}$, $frac{3}{4}$, $frac{1}{8}$, $frac{8}{9}$. Bu kesirlerden en küçüğünü bulmamız gerekiyor.
Kesirleri karşılaştırmak için paydalarını eşitleyebiliriz. En küçük payda $frac{1}{8}$’dir. Çünkü $frac{1}{8}$, $frac{1}{6}$’dan da küçüktür. Diğer kesirler zaten daha büyüktür.
5 sayısına en yakın olan kesir C şıkkındaki $5frac{1}{8}$’dir.
***
Soru 17: $frac{1}{2} < frac{3}{4} < dots < frac{7}{8}$ Yukarıdaki sıralamada noktalı yere aşağıdaki kesirlerden hangisi yazılamaz?
Bu soruda bize verilen bir sıralama var ve bu sıralamada noktalı yere hangi kesrin gelemeyeceğini bulmamız isteniyor. Sıralamanın mantığını anlamak için kesirlerin değerlerini karşılaştırmalıyız.
Öncelikle kesirlerin paydalarını eşitleyerek karşılaştırmayı kolaylaştıralım. 2, 4, 8’in en küçük ortak katı 8’dir.
- $frac{1}{2} = frac{1 times 4}{2 times 4} = frac{4}{8}$
- $frac{3}{4} = frac{3 times 2}{4 times 2} = frac{6}{8}$
- $frac{7}{8}$ zaten paydası 8.
Sıralama şimdi şu hale geldi: $frac{4}{8} < frac{6}{8} < dots < frac{7}{8}$.
Noktalı yere gelecek kesir, $frac{6}{8}$’den büyük ve $frac{7}{8}$’den küçük olmalıdır. Yani payı 6 ile 7 arasında olan bir kesir olmalıdır. Ancak kesirlerin paydaları eşitlediğimizde 6 ile 7 arasında tam sayı bir pay olmadığını görüyoruz. Bu yüzden noktalı yere gelecek kesrin paydasını genişleterek farklı olasılıkları değerlendirebiliriz.
Şimdi şıklardaki kesirlere bakalım:
- A) $frac{6}{8}$
Bu kesir $frac{6}{8}$’e eşittir. Sıralamada $frac{6}{8} < dots$ şeklinde ilerlediği için $frac{6}{8}$ buraya yazılamaz. Çünkü zaten $frac{3}{4}$ kesri $frac{6}{8}$'e eşittir ve sıralamada $frac{3}{4}$'ten sonra bir kesir gelmelidir.
- B) $frac{13}{16}$
Bu kesri 8 paydasına getirelim: $frac{13}{16} = frac{13 div 2}{16 div 2} = frac{6.5}{8}$. Bu tam bir kesir olmadığı için paydalarını eşitlemek yerine genişletelim. $frac{6}{8} = frac{12}{16}$ ve $frac{7}{8} = frac{14}{16}$. $frac{12}{16} < frac{13}{16} < frac{14}{16}$. Bu kesir noktalı yere yazılabilir.
- C) $frac{5}{6}$
Bu kesri 8 paydasına getiremeyiz ama 24 paydasına getirebiliriz. $frac{6}{8} = frac{6 times 3}{8 times 3} = frac{18}{24}$ ve $frac{7}{8} = frac{7 times 3}{8 times 3} = frac{21}{24}$. $frac{5}{6} = frac{5 times 4}{6 times 4} = frac{20}{24}$. $frac{18}{24} < frac{20}{24} < frac{21}{24}$. Bu kesir noktalı yere yazılabilir.
- D) $frac{15}{18}$
Bu kesri sadeleştirelim: $frac{15}{18} = frac{15 div 3}{18 div 3} = frac{5}{6}$. Yukarıdaki C şıkkında $frac{5}{6}$’nın yazılabildiğini gördük. Bu kesir de noktalı yere yazılabilir.
Tekrar A şıkkına dönersek, $frac{6}{8}$ kesri, $frac{3}{4}$ kesrine eşittir. Noktalı yer $frac{3}{4}$’ten büyük olmalıdır. Bu yüzden $frac{6}{8}$ bu sıralamada noktalı yere yazılamaz.
Noktalı yere yazılamayacak kesir A şıkkındaki $frac{6}{8}$’dir.
***
Soru 18: Aşağıdaki toplama işlemlerinden hangisinin sonucu yanlıştır?
Bu soruda bize dört tane toplama işlemi verilmiş ve bu işlemlerden hangisinin sonucunun yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Toplama işlemlerini dikkatlice yaparak doğru sonucu bulacağız.
- A) $2 + frac{2}{5} = 2frac{3}{5}$
Bu işlemde bir tam sayı ile bir kesir toplanıyor. Tam sayı, kesrin tam kısmına eklenir. Yani 2 tam $frac{2}{5}$ olur. Ancak burada sonuç $2frac{3}{5}$ olarak verilmiş. Bu işlem yanlıştır. Doğrusu $2 + frac{2}{5} = 2frac{2}{5}$ olmalıdır.
- B) $1 + frac{5}{8} = frac{6}{8}$
Bu işlemde de bir tam sayı ile bir kesir toplanıyor. 1 tam $frac{5}{8}$ olmalıdır. Sonuç $frac{6}{8}$ olarak verilmiş. Bu işlem yanlıştır. Doğrusu $1 + frac{5}{8} = 1frac{5}{8}$ olmalıdır.
- C) $3 + frac{2}{4} = frac{14}{4}$
Bu işlemde 3 tam $frac{2}{4}$ olması gerekir. $frac{2}{4}$ kesrini sadeleştirirsek $frac{1}{2}$ olur. Yani $3frac{1}{2}$ olur. Şıklarda ise $frac{14}{4}$ verilmiş. Bu kesri tam sayılı kesre çevirelim: $frac{14}{4} = frac{12}{4} + frac{2}{4} = 3 + frac{2}{4} = 3frac{2}{4}$. Bu işlem doğrudur.
- D) $frac{7}{12} + 5 = 5frac{7}{12}$
Bu işlemde bir kesir ile bir tam sayı toplanıyor. Sonuç $5frac{7}{12}$’dir. Bu işlem doğrudur.
Soruda “hangisinin sonucu yanlıştır?” diye soruyor. Gördüğümüz gibi hem A hem de B şıkkındaki işlemler yanlıştır. Soruda bir hata olabilir veya biz bir şeyi kaçırıyor olabiliriz. Tekrar kontrol edelim.
A şıkkına tekrar bakalım: $2 + frac{2}{5} = 2frac{3}{5}$. Bu işlem kesinlikle yanlıştır. Doğrusu $2frac{2}{5}$ olmalıdır.
B şıkkına tekrar bakalım: $1 + frac{5}{8} = frac{6}{8}$. Bu işlem de kesinlikle yanlıştır. Doğrusu $1frac{5}{8}$ olmalıdır.
Soruda bir hata olabilir. Ancak eğer sadece bir yanlış cevap seçmemiz gerekiyorsa, genellikle ilk bulunan yanlış cevap işaretlenir. Ya da soruyu hazırlayan kişi, B şıkkındaki gibi tam sayıyı kesrin içine karıştırma hatasını daha belirgin olarak görmüş olabilir.
Şimdi C şıkkını bir de bileşik kesir olarak kontrol edelim: $3 + frac{2}{4} = frac{14}{4}$. 3 tam $frac{2}{4}$’ü bileşik kesre çevirirsek: $(3 times 4 + 2) / 4 = (12 + 2) / 4 = 14/4$. Bu işlem doğrudur.
D şıkkı da doğrudur.
A ve B şıkkı yanlış. Eğer bir şık seçilecekse ve soruda hata yoksa, bazen tam sayıyı kesre eklerken payı da toplama hatası yapılmış olabilir. A şıkkında $2 + frac{2}{5} = 2frac{3}{5}$ denmiş. Burada pay 2 iken 3 olmuş. Bu, 2’yi $frac{2}{5}$’e eklemeye çalışıp payları toplama gibi bir hatadan kaynaklanmış olabilir. B şıkkında $1 + frac{5}{8} = frac{6}{8}$ denmiş. Burada da sanki 1’i de paya eklemiş gibi $frac{1+5}{8}$ yapmış.
Genellikle bu tarz sorularda, tam sayının kesrin yanına geldiği işlemlerde, tam sayıyı kesrin kendisiyle karıştırmak veya payla toplamak gibi hatalar daha sık görülebilir.
Bu durumda, A şıkkındaki işlemdeki yanlışlık daha belirgindir.
***
Soru 19: $frac{6}{7} + frac{5}{6} – frac{4}{21}$ işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Bu soruda üç kesir arasında toplama ve çıkarma işlemi yapmamız gerekiyor. Bunun için öncelikle paydaları eşitlemeliyiz. 7, 6 ve 21’in en küçük ortak katını bulalım. 7’nin katları: 7, 14, 21, 28, 35, 42… 6’nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42… 21’in katları: 21, 42… En küçük ortak kat 42’dir.
Şimdi kesirleri 42 paydasına eşitleyelim:
- $frac{6}{7} = frac{6 times 6}{7 times 6} = frac{36}{42}$
- $frac{5}{6} = frac{5 times 7}{6 times 7} = frac{35}{42}$
- $frac{4}{21} = frac{4 times 2}{21 times 2} = frac{8}{42}$
Şimdi işlemi yapalım: $frac{36}{42} + frac{35}{42} – frac{8}{42}$
Önce toplama işlemini yapalım: $frac{36}{42} + frac{35}{42} = frac{36 + 35}{42} = frac{71}{42}$
Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $frac{71}{42} – frac{8}{42} = frac{71 – 8}{42} = frac{63}{42}$
Bulduğumuz kesri sadeleştirelim. Hem 63 hem de 42, 7’ye bölünebilir: $frac{63 div 7}{42 div 7} = frac{9}{6}$.
Bu kesir hala sadeleşebilir. Hem 9 hem de 6, 3’e bölünebilir: $frac{9 div 3}{6 div 3} = frac{3}{2}$.
Şimdi şıklara bakalım:
- A) $frac{1}{3}$
- B) $frac{2}{3}$
- C) $frac{3}{2}$
- D) $frac{3}{5}$
İşlemin sonucu C şıkkındaki $frac{3}{2}$’dir.
***
Soru 20: Yandaki şekilde altta verilen iki tuğladaki kesirlerin toplamı hemen üstündeki tuğlada yazmaktadır. Buna göre A + B kaçtır?
Bu soruda bir piramit şeklinde tuğlalar var ve her tuğlanın üzerindeki kesir, altındaki iki tuğladaki kesirlerin toplamına eşit. Bunu kullanarak A ve B’yi bulacağız.
Öncelikle en alttaki tuğlalardan başlayarak yukarı doğru ilerleyeceğiz.
- A’yı Bulma:
A tuğlasının altında $frac{3}{5}$ ve $frac{5}{3}$ kesirleri var. Bu ikisinin toplamı A’ya eşittir.
A = $frac{3}{5} + frac{5}{3}$
Paydaları eşitleyelim. 5 ve 3’ün en küçük ortak katı 15’tir.
- $frac{3}{5} = frac{3 times 3}{5 times 3} = frac{9}{15}$
- $frac{5}{3} = frac{5 times 5}{3 times 5} = frac{25}{15}$
Şimdi toplayalım: A = $frac{9}{15} + frac{25}{15} = frac{9 + 25}{15} = frac{34}{15}$
- B’yi Bulma:
B tuğlasının altında A ve $frac{5}{3}$ kesirleri var. Bu ikisinin toplamı B’ye eşittir. Ama biz A’yı bulduk. B’nin altındaki kesirler A ve $frac{5}{3}$ değil, A ve $frac{5}{3}$’ün yanındaki kesirler olmalı. Şekle göre B’nin altında A ve $frac{5}{3}$ var. Bu durumda A’yı bulmak için alttaki tuğlalara bakmalıyız. Şekilde A’nın altında $frac{3}{5}$ ve $frac{5}{3}$ verilmiş. B’nin altında ise A ve $frac{5}{3}$ verilmiş gibi görünüyor. Bu bir çelişki. Şekli tekrar inceleyelim.
Şekildeki yerleşime göre:
- En altta soldan sağa: $frac{3}{5}$, A, $frac{5}{3}$
- Ortada soldan sağa: $frac{22}{20}$, B
- En üstte: $frac{49}{15}$
Bu yerleşime göre:
- A’yı Bulma:
A’nın altında $frac{3}{5}$ ve $frac{5}{3}$ var. Bu ikisinin toplamı A’yı verir.
A = $frac{3}{5} + frac{5}{3}$
Paydaları eşitleyelim: 15
- $frac{3}{5} = frac{9}{15}$
- $frac{5}{3} = frac{25}{15}$
A = $frac{9}{15} + frac{25}{15} = frac{34}{15}$
- B’yi Bulma:
B’nin altında A ve $frac{5}{3}$ var. Bu ikisinin toplamı B’yi verir.
B = A + $frac{5}{3}$
A’nın değerini yerine koyalım: B = $frac{34}{15} + frac{5}{3}$
Paydaları eşitleyelim: 15
- $frac{5}{3} = frac{5 times 5}{3 times 5} = frac{25}{15}$
B = $frac{34}{15} + frac{25}{15} = frac{34 + 25}{15} = frac{59}{15}$
Şimdi en üstteki tuğlanın da bu mantıkla doğru olup olmadığını kontrol edelim. En üstteki tuğla B ve $frac{22}{20}$’nin toplamı olmalı.
B + $frac{22}{20}$ = $frac{59}{15} + frac{22}{20}$
Bu da $frac{49}{15}$’e eşit olmalı.
Şimdi B’yi bulmak için başka bir yol deneyelim. Ortadaki tuğlalardan biri $frac{22}{20}$ ve diğeri B. Bu ikisinin toplamı en üstteki $frac{49}{15}$’i vermeli.
$frac{22}{20} + B = frac{49}{15}$
B’yi bulmak için $frac{49}{15}$’ten $frac{22}{20}$’yi çıkarmalıyız.
B = $frac{49}{15} – frac{22}{20}$
Paydaları eşitleyelim. 15 ve 20’nin en küçük ortak katı 60’tır.
- $frac{49}{15} = frac{49 times 4}{15 times 4} = frac{196}{60}$
- $frac{22}{20} = frac{22 times 3}{20 times 3} = frac{66}{60}$
B = $frac{196}{60} – frac{66}{60} = frac{196 – 66}{60} = frac{130}{60}$
Bu kesri sadeleştirelim: $frac{130}{60} = frac{13}{6}$
Şimdi A’yı bulalım. A’nın altında $frac{3}{5}$ ve $frac{5}{3}$ var. Bu ikisinin toplamı A’yı verir.
A = $frac{3}{5} + frac{5}{3}$
Paydaları eşitleyelim: 15
- $frac{3}{5} = frac{9}{15}$
- $frac{5}{3} = frac{25}{15}$
A = $frac{9}{15} + frac{25}{15} = frac{34}{15}$
Şimdi ortadaki sol tuğla $frac{22}{20}$’nin değeri ile A’nın değerini kontrol edelim. Ortadaki sol tuğlanın altında $frac{3}{5}$ ve A var. Bu ikisinin toplamı $frac{22}{20}$’yi vermeli.
$frac{3}{5} + A = frac{22}{20}$
$frac{3}{5} + frac{34}{15} = frac{22}{20}$
Paydaları eşitleyelim: 15
- $frac{3}{5} = frac{9}{15}$
$frac{9}{15} + frac{34}{15} = frac{43}{15}$
Bu $frac{22}{20}$’ye eşit değil. Demek ki şekle göre yerleşim farklı.
Şekildeki yerleşim şu şekilde olmalı:
- En altta soldan sağa: $frac{3}{5}$, A, $frac{5}{3}$
- Bir üstteki satır: Soldaki kutuda $frac{22}{20}$ yazıyor. Bu kutunun altında $frac{3}{5}$ ve A var. O zaman $frac{3}{5} + A = frac{22}{20}$ olmalı.
- Sağdaki kutuda B yazıyor. Bu kutunun altında A ve $frac{5}{3}$ var. O zaman $A + frac{5}{3} = B$ olmalı.
- En üstteki kutuda $frac{49}{15}$ yazıyor. Bu kutunun altında $frac{22}{20}$ ve B var. O zaman $frac{22}{20} + B = frac{49}{15}$ olmalı.
Şimdi bu yeni yerleşime göre çözelim:
- A’yı Bulma:
$frac{3}{5} + A = frac{22}{20}$
A = $frac{22}{20} – frac{3}{5}$
Paydaları eşitleyelim. 20 ve 5’in ortak katı 20’dir.
- $frac{3}{5} = frac{3 times 4}{5 times 4} = frac{12}{20}$
A = $frac{22}{20} – frac{12}{20} = frac{22 – 12}{20} = frac{10}{20}$
Sadeleştirelim: A = $frac{1}{2}$
- B’yi Bulma:
A + $frac{5}{3}$ = B
A’nın değerini yerine koyalım: B = $frac{1}{2} + frac{5}{3}$
Paydaları eşitleyelim. 2 ve 3’ün ortak katı 6’dır.
- $frac{1}{2} = frac{1 times 3}{2 times 3} = frac{3}{6}$
- $frac{5}{3} = frac{5 times 2}{3 times 2} = frac{10}{6}$
B = $frac{3}{6} + frac{10}{6} = frac{3 + 10}{6} = frac{13}{6}$
Şimdi en üstteki tuğlanın da bu mantıkla doğru olup olmadığını kontrol edelim.
$frac{22}{20} + B = frac{49}{15}$
$frac{22}{20} + frac{13}{6} = frac{49}{15}$
Paydaları eşitleyelim. 20, 6 ve 15’in ortak katı 60’tır.
- $frac{22}{20} = frac{22 times 3}{20 times 3} = frac{66}{60}$
- $frac{13}{6} = frac{13 times 10}{6 times 10} = frac{130}{60}$
- $frac{49}{15} = frac{49 times 4}{15 times 4} = frac{196}{60}$
Şimdi sol tarafı toplayalım: $frac{66}{60} + frac{130}{60} = frac{196}{60}$
Bu, sağ taraftaki $frac{196}{60}$’a eşittir. Demek ki bulduğumuz A ve B değerleri doğrudur.
Şimdi bizden A + B’yi bulmamız isteniyor.
A + B = $frac{1}{2} + frac{13}{6}$
Paydaları eşitleyelim. Ortak payda 6’dır.
- $frac{1}{2} = frac{1 times 3}{2 times 3} = frac{3}{6}$
A + B = $frac{3}{6} + frac{13}{6} = frac{3 + 13}{6} = frac{16}{6}$
Bu kesri sadeleştirelim. Hem 16 hem de 6, 2’ye bölünebilir.
A + B = $frac{16 div 2}{6 div 2} = frac{8}{3}$
Şimdi şıklara bakalım:
- A) $frac{5}{8}$
- B) $frac{10}{8}$
- C) $frac{13}{8}$
- D) $frac{8}{3}$
A + B’nin sonucu D şıkkındaki $frac{8}{3}$’tür.