Merhaba sevgili öğrencilerim, bugün sizlerle birlikte 1. Ünite’deki alıştırma sorularını çözeceğiz. Kalemleriniz ve defterleriniz hazırsa, haydi başlayalım! Unutmayın, matematikte önemli olan denemek ve anlamaya çalışmaktır. Takıldığınız yerlerde açıklamaları dikkatlice okuyun.
Soru 28: 777…7 on beş basamaklı bir sayıdır. Bu sayının 3 ile bölümünden kalan kaçtır?
Merhaba çocuklar, bu soruyu çözmek için 3 ile bölünebilme kuralını hatırlamamız gerekiyor. Bir sayının 3 ile bölümünden kalanı bulmak için sayının rakamlarını toplarız ve bu toplamın 3 ile bölümünden kalana bakarız. İkisi de aynı sonucu verir!
- Adım 1: Sayımız 15 tane 7’den oluşuyor. Önce bu sayının rakamları toplamını bulalım.
15 tane 7’yi toplamak yerine, kısaca çarpma yapabiliriz: 15 x 7 = 105. - Adım 2: Şimdi bulduğumuz toplamın, yani 105’in, 3 ile bölümünden kalanı bulalım. 105 sayısının rakamlarını toplayalım: 1 + 0 + 5 = 6.
- Adım 3: 6 sayısı 3’e tam olarak bölünür (6 ÷ 3 = 2). Bu yüzden kalan 0’dır.
Sonuç: Demek ki 15 basamaklı 777…7 sayısının 3 ile bölümünden kalan 0‘dır. Sayı 3’e tam bölünür.
Soru 29: ☐3 iki basamaklı doğal sayısı asal sayı ise ☐ yerine gelebilecek rakamlar nelerdir?
Asal sayılar neydi, hatırlayalım: Sadece 1’e ve kendisine bölünebilen 1’den büyük sayılardı. Şimdi ☐ yerine gelebilecek rakamları (1’den 9’a kadar) tek tek deneyelim ve oluşan sayının asal olup olmadığını kontrol edelim.
- Adım 1: ☐ yerine rakamları sırayla koyalım:
- ☐ = 1 ise sayı 13 olur. 13 asaldır.
- ☐ = 2 ise sayı 23 olur. 23 asaldır.
- ☐ = 3 ise sayı 33 olur. 33, 3’e ve 11’e bölünür. Asal değildir.
- ☐ = 4 ise sayı 43 olur. 43 asaldır.
- ☐ = 5 ise sayı 53 olur. 53 asaldır.
- ☐ = 6 ise sayı 63 olur. 63, 3’e, 7’ye, 9’a bölünür. Asal değildir.
- ☐ = 7 ise sayı 73 olur. 73 asaldır.
- ☐ = 8 ise sayı 83 olur. 83 asaldır.
- ☐ = 9 ise sayı 93 olur. 93, 3’e bölünür. Asal değildir.
Sonuç: ☐ yerine gelebilecek rakamlar şunlardır: {1, 2, 4, 5, 7, 8}.
Soru 30: ∆ ve ☐ birbirinden farklı asal sayı ise ∆ + ☐’nun en küçük değeri kaçtır?
Bu soruda bizden iki farklı asal sayının toplamının en küçük değerini bulmamız isteniyor. Toplamın en küçük olması için seçeceğimiz sayıların da en küçük sayılar olması gerekir, değil mi?
- Adım 1: En küçük asal sayıları hatırlayalım: 2, 3, 5, 7, 11, … şeklinde devam ediyor.
- Adım 2: Toplamın en küçük olması için en küçük iki asal sayıyı seçmeliyiz. Soruda “birbirinden farklı” dediği için, en küçük iki farklı asal sayıyı alıyoruz. Bunlar 2 ve 3’tür.
- Adım 3: Bu iki asal sayıyı toplayalım: 2 + 3 = 5.
Sonuç: İki farklı asal sayının toplamının alabileceği en küçük değer 5‘tir.
Soru 31: Asal çarpanları 2, 3 ve 7 olan sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 7 ise, o sayı hem 2’ye, hem 3’e, hem de 7’ye tam bölünmelidir. Ayrıca bu asal çarpanlar dışında başka bir asal çarpana sahip olmamalıdır. Şimdi şıkları inceleyelim.
- A) 42: 42 = 2 x 3 x 7. Asal çarpanları 2, 3 ve 7’dir. Bu olabilir.
- B) 84: 84 = 2 x 42 = 2 x 2 x 3 x 7. Asal çarpanları yine 2, 3 ve 7’dir. Bu da olabilir.
- C) 105: 105 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. Sayı 5 ile bittiği için 5’e bölünür. 105 = 5 x 21. 21 de 3 x 7’dir. Yani, 105 = 3 x 5 x 7. Gördüğünüz gibi, 105’in asal çarpanları arasında 5 var ama 2 yok. Bu yüzden bu sayı olamaz.
- D) 168: 168 = 2 x 84 = 2 x 2 x 2 x 3 x 7. Asal çarpanları 2, 3 ve 7’dir. Bu da olabilir.
Sonuç: Asal çarpanları arasında 5 olduğu ve 2 olmadığı için C) 105 sayısı olamaz.
Soru 32: Yanda verilen çarpan ağacına göre A + B kaçtır?
Çarpan ağacında, bir üstteki sayı, altındaki iki dalın ucundaki sayıların çarpımına eşittir. Bu kuralı kullanarak A ve B’yi bulalım.
- Adım 1: B’yi bulalım. Şekle göre 75 sayısı, 3 ile B’nin çarpımına eşit. Yani 3 x B = 75. B’yi bulmak için 75’i 3’e böleriz.
B = 75 ÷ 3 = 25. - Adım 2: A’yı bulalım. A sayısı da 2 ile 75’in çarpımına eşit.
A = 2 x 75 = 150. - Adım 3: Şimdi A ve B’yi toplayalım.
A + B = 150 + 25 = 175.
Sonuç: A + B işleminin sonucu 175‘tir.
Soru 33: Aşağıdaki doğal sayılardan hangisinin asal çarpan sayısı en fazladır?
Bu soruda her şıktaki sayıyı asal çarpanlarına ayıracağız ve kaç tane farklı asal çarpanı olduğuna bakacağız.
- A) 200: 200 = 2 x 100 = 2 x 10 x 10 = 2 x (2×5) x (2×5) = 2³ x 5². Asal çarpanları {2, 5}. (2 tane)
- B) 210: 210 = 10 x 21 = (2×5) x (3×7). Asal çarpanları {2, 3, 5, 7}. (4 tane)
- C) 240: 240 = 10 x 24 = (2×5) x (3×8) = (2×5) x (3x2x2x2) = 2⁴ x 3 x 5. Asal çarpanları {2, 3, 5}. (3 tane)
- D) 280: 280 = 10 x 28 = (2×5) x (4×7) = (2×5) x (2x2x7) = 2³ x 5 x 7. Asal çarpanları {2, 5, 7}. (3 tane)
Sonuç: En fazla farklı asal çarpanı olan sayı 4 tane ile B) 210‘dur.
Soru 34: Asal çarpanlarının toplamı 8 olan sayı aşağıdakilerden hangisidir?
Yine şıklardaki sayıların asal çarpanlarını bulacağız ama bu sefer onları toplayıp hangisinin 8 ettiğini kontrol edeceğiz.
- A) 60: 60’ın asal çarpanları {2, 3, 5}. Toplamları: 2 + 3 + 5 = 10.
- B) 20: 20’nin asal çarpanları {2, 5}. Toplamları: 2 + 5 = 7.
- C) 15: 15’in asal çarpanları {3, 5}. Toplamları: 3 + 5 = 8. İşte aradığımız sayı bu!
- D) 10: 10’un asal çarpanları {2, 5}. Toplamları: 2 + 5 = 7.
Sonuç: Asal çarpanlarının toplamı 8 olan sayı C) 15‘tir.
Soru 35: Aşağıdaki ifadelerden doğru olanın başına “D”, yanlış olanın başına “Y” yazınız.
Haydi bu ifadelerin doğruluğunu tek tek kontrol edelim.
- (…) 7 sayısı 28 sayısının çarpanlarından biridir.
Bir sayının çarpanı demek, o sayıyı kalansız bölen demektir. 28’i 7’ye bölelim: 28 ÷ 7 = 4. Kalan yok. O zaman bu ifade (D) Doğru‘dur. - (…) 12 sayısı 60 sayısının asal çarpanlarından biri değildir.
Çocuklar, dikkat! Bir sayının “asal çarpanı” olabilmesi için önce kendisinin “asal” olması gerekir. 12 asal bir sayı mıdır? Hayır, çünkü 2, 3, 4, 6’ya da bölünür. 12 asal olmadığı için hiçbir sayının asal çarpanı olamaz. İfade de “asal çarpanı değildir” diyor. Bu yüzden bu ifade (D) Doğru‘dur. - (…) 120 sayısının asal çarpanlarından biri 4’tür.
Az önceki sorudaki gibi düşünelim. 4 sayısı asal bir sayı mıdır? Hayır, 2’ye bölünür. Asal olmadığı için 120’nin veya başka bir sayının asal çarpanı olamaz. Bu ifade (Y) Yanlış‘tır. - (…) 75 sayısının en küçük asal çarpanı 5’tir.
75 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 75’in rakamları toplamı 7+5=12 olduğu için 3’e bölünür. 75 = 3 x 25 = 3 x 5 x 5. 75’in asal çarpanları {3, 5}’tir. Bunlardan en küçüğü 3’tür. İfade ise 5’tir diyor. Bu yüzden bu ifade (Y) Yanlış‘tır.
Soru 36: Aşağıdaki sayılardan hangisinin üç farklı asal sayı çarpanı vardır?
Tekrar sayıların kaç tane farklı asal çarpanı olduğuna bakıyoruz.
- A) 8: 8 = 2 x 2 x 2 = 2³. Sadece bir tane asal çarpanı var, o da 2.
- B) 98: 98 = 2 x 49 = 2 x 7 x 7 = 2 x 7². Asal çarpanları {2, 7}. İki tane.
- C) 110: 110 = 10 x 11 = 2 x 5 x 11. Asal çarpanları {2, 5, 11}. Üç tane! Aradığımızı bulduk.
- D) 125: 125 = 5 x 5 x 5 = 5³. Sadece bir tane asal çarpanı var, o da 5.
Sonuç: Üç farklı asal çarpanı olan sayı C) 110‘dur.
Soru 37: 30 ve 48 sayılarının ortak bölenlerini bulunuz.
Ortak bölenleri bulmak için önce her iki sayının da bölenlerini (yani çarpanlarını) ayrı ayrı yazalım, sonra da her iki listede de olanları (ortak olanları) işaretleyelim.
- Adım 1: 30’un bölenlerini bulalım.
1 x 30
2 x 15
3 x 10
5 x 6
30’un bölenleri: {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} - Adım 2: 48’in bölenlerini bulalım.
1 x 48
2 x 24
3 x 16
4 x 12
6 x 8
48’in bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} - Adım 3: Şimdi her iki listede de bulunan ortak sayıları bulalım.
Her iki listede de 1, 2, 3 ve 6 sayıları var.
Sonuç: 30 ve 48 sayılarının ortak bölenleri {1, 2, 3, 6}‘dır.
Harikasınız çocuklar! Bütün soruları tamamladık. Anlamadığınız bir yer olursa tekrar okumaktan çekinmeyin. Matematik tekrar yaparak ve bol bol soru çözerek öğrenilir. Bir sonraki dersimizde görüşmek üzere!