Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle kitabımızdaki “Alıştırmalar” bölümünü birlikte çözeceğiz. Konumuz, matematiğin en gizemli ve en temel konularından biri olan **asal sayılar**. Hazırsanız, kalemleriniz ve defterleriniz yanınızdaysa, hemen başlayalım! Unutmayın, anlamadığınız bir yer olursa hiç çekinmeyin. Amacımız birlikte öğrenmek.
***
1. Soru: En küçük asal sayı kaçtır?
Çözüm:
Sevgili çocuklar, önce asal sayının ne olduğunu bir hatırlayalım. Asal sayı, 1’den büyük, sadece 1’e ve kendisine bölünebilen doğal sayılardır. Bu tanım çok önemli!
- A) 0: 0, 1’den büyük olmadığı için asal sayı değildir.
- B) 1: 1, sadece kendisine (yani 1’e) bölünebilir. Asal sayı olabilmesi için 1’e ve kendisine, yani iki farklı pozitif bölene sahip olması gerekir. Bu yüzden 1 asal sayı değildir. Bu çok karıştırılır, dikkat edelim!
- C) 2: 2, sadece 1’e ve 2’ye bölünür. Tanımımıza uyuyor.
- D) 3: 3, sadece 1’e ve 3’e bölünür. Bu da bir asal sayıdır, ama soruda bizden en küçüğü isteniyor.
Bu durumda en küçük asal sayımız 2’dir. Aynı zamanda 2, tek çift asal sayıdır, bunu da unutmayalım!
Sonuç: Doğru cevap C) 2‘dir.
***
2. Soru: 70’ten büyük en küçük asal sayı kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda 70’ten sonraki sayıları sırayla kontrol etmemiz gerekiyor. Acaba hangisi asal?
- Adım 1: 70’ten sonraki ilk sayı 71‘dir. 71 sayısını bölen bir sayı var mı diye düşünelim. 2’ye bölünmez çünkü tek sayı. Rakamları toplamı (7+1=8) 3’ün katı olmadığı için 3’e bölünmez. Sonu 0 veya 5 olmadığı için 5’e bölünmez. 7’ye de tam bölünmez (7×10=70). Öyleyse 71 bir asal sayıdır!
- Adım 2: Bizden 70’ten büyük en küçük asal sayıyı istediği için, bulduğumuz ilk asal sayı doğru cevaptır.
Sonuç: 70’ten büyük en küçük asal sayı 71‘dir.
***
3. Soru: Aşağıdaki ifadelerden doğru olanın başına “D”, yanlış olanın başına “Y” yazınız.
Çözüm:
Haydi bu ifadeleri tek tek inceleyelim.
- ( D ) 1 asal sayı değildir.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. Yukarıda da konuştuğumuz gibi, 1’in sadece bir tane böleni olduğu için asal kabul edilmez. - ( Y ) Asal sayıların hepsi tektir.
Açıklama: Bu ifade yanlıştır. Çünkü en küçük asal sayı olan 2, aynı zamanda bir çift sayıdır. Bu yüzden “hepsi tektir” diyemeyiz. - ( Y ) İki asal sayının çarpımı her zaman bir asal sayıdır.
Açıklama: Bu ifade yanlıştır. Hemen bir örnekle gösterelim. 3 bir asal sayıdır, 5 de bir asal sayıdır. 3 x 5 = 15. Peki 15 asal mı? Hayır, çünkü 3’e ve 5’e de bölünüyor. Bir sayının asal olması için sadece 1’e ve kendisine bölünmesi gerekirdi. - ( D ) 2’den başka çift asal sayı yoktur.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. Çünkü 2’den başka tüm çift sayılar, tanım gereği 2’ye bölünebilirler. Bu da onların 1 ve kendisinden başka bir bölenleri (yani 2) olduğu anlamına gelir. - ( D ) 1 ve kendisinden başka çarpanı olmayan sayılara asal sayılar denir.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. Bu, asal sayının tanımıdır. (Not: Tanımda “1’den büyük” ifadesi de olmalıdır, ama bu haliyle genel olarak doğru kabul edilir.)
***
4. Soru: Aşağıda verilen sayılardan hangisi asaldır?
Çözüm:
Şıkları tek tek inceleyelim.
- A) 42: Bu bir çift sayıdır. 2’ye bölündüğü için asal değildir.
- B) 81: Rakamlarını toplayalım: 8 + 1 = 9. 9, 3’ün katı olduğu için 81 sayısı 3’e bölünür. Asal değildir. (Aynı zamanda 9×9=81’dir.)
- C) 97: Bu sayıyı bölen var mı diye kontrol edelim. 2’ye, 3’e, 5’e, 7’ye bölünmüyor. O halde 97 bir asal sayıdır.
- D) 105: Son rakamı 5 olduğu için bu sayı 5’e bölünür. Asal değildir.
Sonuç: Doğru cevap C) 97‘dir.
***
5. Soru: 35 ile 70 sayılarının arasında kaç tane asal sayı vardır?
Çözüm:
Bu aralıktaki asal sayıları bulmak için sabırla saymamız gerekiyor.
- Adım 1: 35’ten sonraki sayıları düşünelim ve asal olanları yazalım:
37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 - Adım 2: Şimdi bulduğumuz bu asal sayıları sayalım.
Toplamda 8 tane asal sayı bulduk.
Sonuç: 35 ile 70 arasında 8 tane asal sayı vardır.
***
6. Soru: Aşağıda verilen ifadelerdeki noktalı yerleri tamamlayınız.
Çözüm:
Bu soru tamamen asal sayılarla ilgili temel bilgileri hatırlamakla ilgili.
- 1 ve kendisinden başka tam böleni olmayan sayılara asal sayılar denir.
- En küçük asal sayı 2‘dir.
- En büyük iki basamaklı asal sayı 97‘dir. (100’den geriye doğru sayarak bulabiliriz: 99, 98, 97…)
- İki basamaklı en küçük asal sayı 11‘dir. (10’dan ileriye doğru sayarak bulabiliriz: 10, 11…)
***
7. Soru: A3 iki basamaklı doğal sayısının asal sayı olabilmesi için A yerine gelebilecek rakamları bulunuz.
Çözüm:
Burada A yerine 1’den 9’a kadar rakamları koyup oluşan sayının asal olup olmadığını kontrol edeceğiz. Sayımızın sonu hep 3 olacak.
- A=1 ise sayı 13 olur. 13 asaldır. ✅
- A=2 ise sayı 23 olur. 23 asaldır. ✅
- A=3 ise sayı 33 olur. 33, 3’e ve 11’e bölünür. Asal değildir. ❌
- A=4 ise sayı 43 olur. 43 asaldır. ✅
- A=5 ise sayı 53 olur. 53 asaldır. ✅
- A=6 ise sayı 63 olur. Rakamları toplamı 9, yani 3’e bölünür. Asal değildir. ❌
- A=7 ise sayı 73 olur. 73 asaldır. ✅
- A=8 ise sayı 83 olur. 83 asaldır. ✅
- A=9 ise sayı 93 olur. Rakamları toplamı 12, yani 3’e bölünür. Asal değildir. ❌
Sonuç: A yerine gelebilecek rakamlar: {1, 2, 4, 5, 7, 8}
***
8. Soru: Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Çözüm:
Yine şıkları tek tek kontrol etmemiz gereken bir soru.
- A) 2 en küçük asal sayıdır. Bu ifade Doğru.
- B) 57 asal sayı değildir. Rakamlarını toplayalım: 5 + 7 = 12. 12, 3’ün katı olduğu için 57 sayısı 3’e bölünür. Dolayısıyla asal değildir. Bu ifade de Doğru.
- C) 4 ile 10 sayıları arasında 2 tane asal sayı vardır. 4 ile 10 arasındaki sayılar: 5, 6, 7, 8, 9. Bunlardan asal olanlar 5 ve 7’dir. Yani 2 tanedir. Bu ifade de Doğru.
- D) En küçük iki basamaklı asal sayı 10’dur. 10 sayısı çift bir sayıdır ve 2’ye bölünür. Asal değildir. En küçük iki basamaklı asal sayı 11’dir. Dolayısıyla bu ifade Yanlış.
Sonuç: Yanlış olan ifade D) şıkkıdır.
***
9. Soru: 23, 41, 18, 95, 83, 49 sayılarından asal olanları yuvarlak içine alınız.
Çözüm:
Sayıları sırayla inceleyelim.
- 23: Sadece 1’e ve 23’e bölünür. Asaldır.
- 41: Sadece 1’e ve 41’e bölünür. Asaldır.
- 18: Çift sayıdır, 2’ye bölünür. Asal değildir.
- 95: Sonu 5 ile biter, 5’e bölünür. Asal değildir.
- 83: Sadece 1’e ve 83’e bölünür. Asaldır.
- 49: 7’ye bölünür (7×7=49). Asal değildir.
Sonuç: Yuvarlak içine alınması gereken sayılar: 23, 41, 83.
***
10. Soru: İki asal sayının toplamı daima çift sayı mıdır? Tartışınız.
Çözüm:
Harika bir düşünme sorusu! “Daima” kelimesi burada çok önemli. Eğer tek bir tane bile kuralı bozan örnek bulursak, ifade yanlış olur.
Adım 1: Aklımıza gelen iki asal sayıyı toplayalım. Mesela 3 ve 5.
3 + 5 = 8 (Çift sayı)
Başka bir örnek: 7 ve 11.
7 + 11 = 18 (Çift sayı)
Bu örnekler ifadenin doğru olabileceğini düşündürüyor.Adım 2: Peki ya asal sayılardan biri 2 olursa? Unutmayın, 2 de bir asal sayı!
2 ile başka bir asal sayıyı, mesela 3’ü toplayalım.
2 + 3 = 5 (Tek sayı!)
İşte kuralı bozan bir örnek bulduk!
Sonuç: Hayır, iki asal sayının toplamı daima çift sayı değildir. Eğer asal sayılardan biri 2 (çift asal sayı) ve diğeri tek bir asal sayı ise, toplamları tek sayı olur.
***
11. Soru: İki basamaklı en büyük asal sayı kaçtır? Nasıl bir yol izlediğinizi açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için izleyeceğimiz yol çok basit ve mantıklıdır.
- Adım 1: Önce en büyük iki basamaklı sayıyı yazarız. Bu sayı 99‘dur.
- Adım 2: Bu sayıdan başlayarak geriye doğru birer birer gideriz ve her sayının asal olup olmadığını kontrol ederiz. Karşımıza çıkan ilk asal sayı, aradığımız cevap olacaktır.
- Adım 3: Kontrol edelim:
- 99 asal mı? Hayır, 3’e, 9’a, 11’e bölünür.
- 98 asal mı? Hayır, çift sayıdır, 2’ye bölünür.
- 97 asal mı? Evet! 97’yi 2, 3, 5, 7 gibi daha küçük asal sayılara bölmeyi denediğimizde tam bölünmediğini görürüz.
Sonuç: İzlediğimiz yol, en büyük iki basamaklı sayıdan geriye doğru sayıp ilk bulduğumuz asal sayıda durmaktır. Bu yöntemle bulduğumuz iki basamaklı en büyük asal sayı 97‘dir.