Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün birlikte gönderdiğiniz görseldeki matematik sorularını çözeceğiz. Her bir soruyu adım adım, tane tane anlatacağım. Takıldığınız yerler olursa hiç çekinmeyin. Unutmayın, matematik sabır ve anlama işidir. Hadi başlayalım!
12. Aşağıda verilen ifadelerden doğru olanların başındaki kutucuğa “D”, yanlış olanların başındaki kutucuğa “Y” yazınız.
Bu soruda dörtgenlerin özelliklerini ne kadar iyi hatırladığımızı ölçeceğiz. Haydi, her bir maddeyi dikkatlice inceleyelim.
- a. [Y] Yamuğun paralel kenarları yoktur.
Açıklama: Bu ifade yanlıştır. Yamuğun tanımı gereği, karşılıklı kenar çiftlerinden en az biri birbirine paralel olmak zorundadır. Paralel kenarı olmasaydı ona yamuk diyemezdik.
- b. [D] Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirine diktir.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. Eşkenar dörtgenin en önemli özelliklerinden biri, köşegenlerinin birbirini dik olarak (yani 90 derecelik açıyla) kesmesidir.
- c. [Y] Paralelkenarın iç açılarının ölçüleri her zaman 90°’dir.
Açıklama: Bu ifade yanlıştır. Bu özellik sadece dikdörtgen ve kare gibi özel paralelkenarlar için geçerlidir. Normal bir paralelkenarın açıları 90° olmak zorunda değildir.
- ç. [Y] Dikdörtgenin köşegenleri her zaman birbirine diktir.
Açıklama: Bu ifade yanlıştır. Dikdörtgenin köşegenleri birbirine eşittir ve birbirini ortalar ama her zaman dik kesişmezler. Köşegenlerin dik kesiştiği dikdörtgen, aynı zamanda bir karedir.
- d. [D] Karenin tüm kenar uzunlukları eşittir.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. Karenin tanımı, dört kenarı da birbirine eşit ve tüm iç açıları 90° olan dörtgendir.
- e. [D] Karenin bir köşegeni, kareyi iki eş parçaya ayırır.
Açıklama: Bu ifade doğrudur. Karenin köşegeni, onu iki tane birbirinin aynısı (eş) ikizkenar dik üçgene ayırır.
13. Yandaki ABCD eşkenar dörtgeninde |AB| = 25 cm, |AK| = 20 cm, |BK| = 15 cm ise |BH| kaç cm’dir?
Bu soruyu çözmek için eşkenar dörtgenin alanını iki farklı yolla hesaplayıp birbirine eşitleyeceğiz. Çok zekice bir yöntem, değil mi?
Adım 1: Alanı köşegenler yardımıyla bulalım.
Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini ortalar. Bu demek oluyor ki:
AC köşegeninin uzunluğu: |AC| = 2 * |AK| = 2 * 20 = 40 cm
BD köşegeninin uzunluğu: |BD| = 2 * |BK| = 2 * 15 = 30 cm
Eşkenar dörtgenin alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir. Alan = (e * f) / 2
Alan(ABCD) = (40 * 30) / 2 = 1200 / 2 = 600 cm²
Adım 2: Alanı taban ve yükseklik yardımıyla bulalım.
Her paralelkenarda olduğu gibi, eşkenar dörtgenin alanı aynı zamanda taban çarpı o tabana ait yükseklik formülüyle de bulunur.
Burada taban olarak DC kenarını alalım. Eşkenar dörtgen olduğu için tüm kenarları eşittir, yani |DC| = |AB| = 25 cm’dir. Bu tabana ait yükseklik ise soruda bizden istenen |BH| uzunluğudur.
Alan(ABCD) = |DC| * |BH| = 25 * |BH|
Adım 3: İki alan formülünü eşitleyelim.
Birinci adımda alanı 600 cm² bulmuştuk. İkinci adımda ise alanın 25 * |BH| olduğunu bulduk. Bu iki ifade de aynı alana eşit olduğuna göre:
600 = 25 * |BH|
|BH|’ı bulmak için 600’ü 25’e böleriz.
|BH| = 600 / 25 = 24 cm
Sonuç: |BH| uzunluğu 24 cm‘dir.
14. Yandaki PRST dik yamuğunda |TS| = 6 cm ve |PR| = 18 cm’dir. Yamuğun alanı 60 cm² ise çevre uzunluğu kaç cm’dir?
Çevreyi bulmak için bütün kenar uzunluklarını bilmemiz gerekiyor. Elimizde alt taban (|PR|) ve üst taban (|TS|) var. Bize yükseklik (|TP|) ve eğik kenar (|SR|) lazım. Alan formülünden yola çıkalım!
Adım 1: Yamuğun yüksekliğini (|TP|) bulalım.
Dik yamuğun alan formülünü hatırlayalım: Alan = [(Alt Taban + Üst Taban) * Yükseklik] / 2
Bildiğimiz değerleri yerine yazalım:
60 = [(18 + 6) * |TP|] / 2
60 = [24 * |TP|] / 2
60 = 12 * |TP|
|TP|’yi bulmak için 60’ı 12’ye bölelim: |TP| = 60 / 12 = 5 cm. Harika, yüksekliği bulduk!
Adım 2: Eğik kenarı (|SR|) bulalım.
Şimdi T noktasından PR kenarına bir dikme indirelim ve bu noktaya M diyelim. Böylece bir TMRP dikdörtgeni ve bir SMR dik üçgeni oluşturmuş oluruz. Dikdörtgenden dolayı |MR| = |TP| = 5 cm ve |TM| = |PR| – |TS| = 18 – 6 = 12 cm olur. (Not: Şekilde S’den dikme indirilmiş gibi düşünelim). S noktasından PR tabanına bir dikme indirirsek, bir dik üçgen oluşur. Bu dik üçgenin dik kenarlarından biri yamuğun yüksekliği kadardır (yani 5 cm), diğeri ise tabanlar farkı kadardır (18 – 6 = 12 cm). Eğik kenar |SR| ise bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor bağıntısını kullanalım (veya 5-12-13 özel üçgenini hatırlayalım).
|SR|² = 5² + 12²
|SR|² = 25 + 144 = 169
|SR| = √169 = 13 cm. (Zaten şekilde de 13 cm olduğu ipucu olarak verilmiş.)
Adım 3: Çevreyi hesaplayalım.
Artık tüm kenarları biliyoruz: |PR|=18, |RS|=13, |ST|=6, |TP|=5.
Çevre = 18 + 13 + 6 + 5 = 42 cm
Sonuç: Yamuğun çevre uzunluğu 42 cm‘dir.
15. Yanda, Esra Hanım’ın bahçesinin planı kareli kâğıt üzerine çizilmiştir. Verilenlere göre bahçede çim ekili alan kaç m²’dir?
Bu soruda bizden istenen yeşil renkli çim alan. Bunu bulmak için tüm bahçenin alanından ortadaki havuzun alanını çıkarmamız yeterli olacaktır.
Adım 1: Tüm bahçenin (dikdörtgenin) alanını bulalım.
Şekildeki oklar bize bahçenin uzun kenarının 16 m, kısa kenarının ise 8 m olduğunu gösteriyor.
Dikdörtgenin Alanı = Uzun Kenar * Kısa Kenar
Bahçenin Alanı = 16 * 8 = 128 m²
Adım 2: Havuzun (eşkenar dörtgenin) alanını bulalım.
Ortadaki havuz bir eşkenar dörtgen (veya kare) şeklinde. Köşegen uzunlukları verilmiş. Yatay köşegen 8 m, dikey köşegen ise 4 m uzunluğunda görünüyor (Kareli zeminde sayarak da bulabiliriz). Eşkenar dörtgenin alan formülünü kullanalım:
Havuzun Alanı = (Köşegen 1 * Köşegen 2) / 2
Havuzun Alanı = (8 * 4) / 2 = 32 / 2 = 16 m²
Adım 3: Çim ekili alanı hesaplayalım.
Çim Alan = Toplam Alan – Havuzun Alanı
Çim Alan = 128 – 16 = 112 m²
Sonuç: Bahçedeki çim ekili alan 112 m²‘dir.
16. Yandaki O merkezli çemberde m(AOB) = 60°, |ACB| = 88 cm ise çemberin yarıçap uzunluğu kaç cm’dir (π’yi 3 alınız.)?
Bu soruda çemberin yay uzunluğu formülünü kullanacağız. Ama dikkat! Bize verilen yay uzunluğu, 60 derecelik açının gördüğü küçük yay değil, çemberin geri kalan büyük yayıdır.
Adım 1: ACB yayını gören merkez açıyı bulalım.
Çemberin tamamı 360°’dir. Küçük yayın açısı 60° ise, büyük yayın (ACB yayı) açısı:
360° – 60° = 300°
Adım 2: Yay uzunluğu formülünü kullanarak yarıçapı (r) bulalım.
Yay Uzunluğu = (Merkez Açı / 360) * 2 * π * r
Bildiğimiz değerleri formülde yerine yazalım:
88 = (300 / 360) * 2 * 3 * r
Önce kesri sadeleştirelim: 300/360 = 30/36 = 5/6
88 = (5/6) * 6 * r
Burada paydaki 6 ile paydadaki 6 birbirini götürür. Geriye şu kalır:
88 = 5 * r
Yarıçapı (r) bulmak için 88’i 5’e böleriz.
r = 88 / 5 = 17,6 cm
Sonuç: Çemberin yarıçap uzunluğu 17,6 cm‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, bol bol pratik yaparak bu konuları çok daha iyi öğrenebilirsiniz. Başarılar dilerim