Merhaba sevgili öğrencilerim,
Bugün sizlerle birlikte dörtgenlerin ilginç dünyasına bir yolculuk yapacağız. Bana gönderdiğiniz görseldeki soruları ve etkinlikleri adım adım, hep birlikte çözeceğiz. Hazırsanız, haydi başlayalım!
Soru: Oya, tahtadaki dörtgenlerin her birinde, birer doğru parçası çizerek dörtgenleri iki parçaya ayırmak istiyor. Oya, her bir parçanın üçgen olmasını istediğine göre doğru parçalarını çizerken nelere dikkat etmelidir? Açıklayınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için biraz düşünelim. Elimizde dört kenarı olan şekiller (dörtgenler) var ve biz bunları tek bir çizgiyle iki tane üçgene ayırmak istiyoruz. Üçgenin kaç kenarı vardı? Evet, üç kenarı!
Bir dörtgeni iki üçgene ayırmanın tek bir yolu vardır: köşegen çizmek.
Peki, köşegen ne demekti?
- Köşegen, bir dörtgende birbirine komşu olmayan, yani yan yana durmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır.
Adım 1: Oya’nın elindeki şekiller birer dörtgen. Yani hepsinin 4 köşesi ve 4 kenarı var.
Adım 2: Eğer Oya, bir köşeden tam karşısındaki (komşusu olmayan) köşeye bir çizgi çizerse, bu çizgi dörtgeni tam ortadan iki üçgensel bölgeye ayırır.
Adım 3: Örneğin dikdörtgeni düşünelim. Karşılıklı iki köşeyi birleştirdiğimizde, oluşan iki şeklin de üçer kenarı olduğunu görürüz. Yani iki tane üçgen elde etmiş oluruz.
Sonuç: Oya, her bir dörtgenin karşılıklı iki köşesini birleştiren bir doğru parçası (yani bir köşegen) çizmelidir. Eğer komşu köşeleri birleştirirse sadece dörtgenin bir kenarını çizmiş olur. Eğer köşelerden geçmeyen bir çizgi çizerse, üçgen ve başka bir çokgen (mesela beşgen) elde edebilir. Bu yüzden dikkat etmesi gereken en önemli şey, çizeceği doğrunun karşılıklı köşeleri birleştirmesidir.
Etkinlik
Şimdi de kitaptaki etkinliği adım adım yapalım. Bu etkinliğin amacı, dörtgenlerin açı özelliklerini keşfetmek.
1. Noktalı kâğıda, bir dikdörtgen ve dikdörtgenin köşegenlerini çizelim.
Görselde verilen ABCD dikdörtgenine bakalım. Bu dikdörtgenin köşegenleri, A ile C köşesini birleştiren [AC] doğru parçası ve B ile D köşesini birleştiren [DB] doğru parçasıdır. Bu iki köşegen, dikdörtgenin içinde bir noktada kesişir.
2. Köşegenler çizildiğinde oluşan açıların her birini açıölçer yardımıyla ölçelim.
Açıölçerimiz olmasa da bu açıların özelliklerini birlikte bulabiliriz. Unutmayın, dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine paraleldir. Bu bize “Z kuralı”nı kullanma fırsatı verir!
- AB kenarı ile DC kenarı paralel olduğu için, DB köşegenini kestiğinde oluşan iç ters açılar eşittir. Yani, CDB açısı ile ABD açısı birbirine eşittir.
- Yine aynı paralellikten dolayı, AC köşegeni bu kenarları kestiğinde DCA açısı ile CAB açısı birbirine eşittir.
- Aynı şekilde AD ile BC kenarları da paraleldir. Bu yüzden DAC açısı ile BCA açısı ve ADB açısı ile CBD açısı birbirine eşittir.
3. Açılardan eş veya tümler olanları belirleyelim.
Adım 1 (Eş Açılar): Yukarıda “Z kuralı” ile bulduğumuz açılar birbirine eştir.
- m(∠DCA) = m(∠CAB)
- m(∠CDB) = m(∠ABD)
- m(∠DAC) = m(∠BCA)
- m(∠ADB) = m(∠CBD)
Ayrıca, köşegenlerin kesişim noktasında oluşan ters açılar da birbirine eşittir.
Adım 2 (Tümler Açılar): Tümler açılar, toplamları 90° olan açılardı. Dikdörtgenin her bir köşesi 90° olduğuna göre:
- A köşesindeki açılar: m(∠DAB) = 90° olduğu için, m(∠DAC) + m(∠CAB) = 90°. Yani bu iki açı tümlerdir.
- B köşesindeki açılar: m(∠ABC) = 90° olduğu için, m(∠ABD) + m(∠CBD) = 90°. Bu iki açı da tümlerdir.
Diğer köşeler için de aynı durum geçerlidir.
4. İzometrik kâğıda birer eşkenar dörtgen ve paralelkenar çizelim. İç açılarını ölçelim. İç açılardan eş ve bütünler olanları belirleyelim.
Şimdi de görseldeki PRST eşkenar dörtgeni ve GDEF paralelkenarı için aynı çalışmayı yapalım.
PRST Eşkenar Dörtgeni İçin:
Eşkenar dörtgenin en önemli özelliklerinden biri, karşılıklı açılarının birbirine eşit olmasıdır. Ardışık, yani yan yana gelen açılarının toplamı ise 180°‘dir (bütünlerdir).
- Eş Açılar: Karşılıklı olan P ve S açıları birbirine eşittir. m(∠P) = m(∠S). Aynı şekilde R ve T açıları da birbirine eşittir. m(∠R) = m(∠T).
- Bütünler Açılar: Yan yana olan açılar bütünlerdir.
- m(∠P) + m(∠R) = 180°
- m(∠R) + m(∠S) = 180°
- m(∠S) + m(∠T) = 180°
- m(∠T) + m(∠P) = 180°
GDEF Paralelkenarı İçin:
Paralelkenarın açı özellikleri, eşkenar dörtgen ile aynıdır! Yani karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünlerdir.
- Eş Açılar: Karşılıklı olan G ve E açıları birbirine eşittir. m(∠G) = m(∠E). Aynı şekilde D ve F açıları da birbirine eşittir. m(∠D) = m(∠F).
- Bütünler Açılar: Yan yana olan açılar bütünlerdir.
- m(∠G) + m(∠D) = 180°
- m(∠D) + m(∠E) = 180°
- m(∠E) + m(∠F) = 180°
- m(∠F) + m(∠G) = 180°
Umarım bu açıklamalar dörtgenleri daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Unutmayın, geometri şekilleri tanımak ve özelliklerini bilmekle ilgilidir. Bol bol pratik yapmayı ihmal etmeyin! Başka sorularınız olursa çekinmeden sorun.