Harika bir ünite değerlendirme testi! Merhaba sevgili öğrencim, ben 7. Sınıf Matematik Öğretmenin. Bu soruları birlikte, adım adım ve kolayca anlayacağın bir şekilde çözeceğiz. Hazırsan, hemen başlayalım!
Soru 1: İşlemler ile işlemlerin sonuçlarını eşleştiriniz.
Bu soruda bize verilen cebirsel ifadeleri en sade haline getirip sağdaki kutucuklarla eşleştireceğiz. Haydi sırayla yapalım.
(5c + 2) + (2c – 3) = ?
Adım 1: Önce parantezleri kaldıralım. Toplama işlemi olduğu için parantezleri olduğu gibi kaldırabiliriz: 5c + 2 + 2c – 3.
Adım 2: Şimdi de benzer terimleri, yani ‘c’li olanları kendi arasında, sayıları da kendi arasında toplayalım.
(5c + 2c) + (2 – 3)
Adım 3: İşlemleri yapalım. 5c ile 2c’yi toplarsak 7c eder. 2’den 3’ü çıkarırsak -1 kalır.
Sonuç: 7c – 1
Bu sonuç 7c – 1 kutucuğu ile eşleşir.
(4c – 2) – (– c + 1) = ?
Adım 1: Burada dikkat etmemiz gereken çok önemli bir nokta var! İkinci parantezin önünde eksi (-) işareti var. Bu eksi işaretini parantezin içindeki her bir terimle çarparak parantezi kaldırırız. Yani içeridekilerin işareti değişir.
4c – 2 – (–c) – (+1)
Bu da şu anlama gelir: 4c – 2 + c – 1
Adım 2: Şimdi benzer terimleri bir araya getirelim.
(4c + c) + (–2 – 1)
Adım 3: İşlemleri yapalım. 4c ile c’yi toplarsak 5c eder. -2 ile -1’i toplarsak -3 eder.
Sonuç: 5c – 3
Bu sonuç 5c – 3 kutucuğu ile eşleşir.
2 ⋅ (3c – 1) = ?
Adım 1: Burada dağılma özelliğini kullanacağız. Yani parantezin dışındaki 2 sayısını, içerideki her bir terimle ayrı ayrı çarpacağız.
(2 ⋅ 3c) – (2 ⋅ 1)
Adım 2: Çarpma işlemlerini yapalım. 2 kere 3c, 6c eder. 2 kere 1, 2 eder.
Sonuç: 6c – 2
Bu sonuç 6c – 2 kutucuğu ile eşleşir.
3 ⋅ (2c + 1) = ?
Adım 1: Yine dağılma özelliğini kullanıyoruz. 3 sayısını parantezin içindekilerle tek tek çarpalım.
(3 ⋅ 2c) + (3 ⋅ 1)
Adım 2: Çarpma işlemlerini yapalım. 3 kere 2c, 6c eder. 3 kere 1, 3 eder.
Sonuç: 6c + 3
Bu sonuç 6c + 3 kutucuğu ile eşleşir.
Soru 2: Yanda altı tane eşkenar üçgenin aralarında boşluk kalmayacak şekilde dizilmesi ile elde edilmiş bir şekil verilmiştir. OML eşkenar üçgeninin bir kenarının uzunluğu (2a – 3) br’dir. Buna göre, şeklin çevre uzunluğunu belirten cebirsel ifadeyi yazınız.
Çok güzel bir geometri sorusu! Hadi çözelim.
Adım 1: Şeklin çevresini bulmak için, şeklin en dışındaki kenarları saymamız gerekir. İçeride kalan kenarları saymayacağız. Şeklin dış kenarlarını saydığımızda (P’den başlayıp tekrar P’ye gelene kadar) toplam 6 tane kenar olduğunu görürüz.
Adım 2: Soruda bize bu şekli oluşturan üçgenlerin eşkenar olduğu söylenmiş. Eşkenar üçgenin bütün kenarları birbirine eşittir. OML üçgeninin bir kenarı (2a – 3) birim ise, şeklin dışındaki her bir kenar da (2a – 3) birimdir.
Adım 3: Çevreyi bulmak için bir kenar uzunluğunu, dışarıdaki kenar sayısı ile çarparız. Yani 6 ile (2a – 3)’ü çarpacağız.
Çevre = 6 ⋅ (2a – 3)
Adım 4: Dağılma özelliğini kullanarak çarpma işlemini yapalım.
(6 ⋅ 2a) – (6 ⋅ 3)
12a – 18
Sonuç: Şeklin çevre uzunluğunu belirten cebirsel ifade 12a – 18’dir.
Soru 3: Yukarıdaki sayı örüntüsünün;
Bu soruda bir sayı örüntüsü var. Önce bu örüntünün sırrını, yani kuralını çözmemiz gerekiyor.
Örüntü: 6, 10, 14, 18, 22, …
Adım 1: Örüntünün kuralını bulmak için ardışık sayılar arasındaki farka bakalım. Sayılar sürekli aynı miktarda mı artıyor?
10 – 6 = 4
14 – 10 = 4
18 – 14 = 4
Evet, sayılar her adımda 4 artıyor. Bu artış miktarı, kuralımızın en önemli parçasıdır.
a) Kuralını harfle ifade ediniz.
Adım 2: Artış miktarı 4 olduğu için kuralımız 4n ile başlar (n burada adım sayısını temsil eder). Şimdi kuralın doğru olup olmadığını kontrol edelim. n yerine 1 yazalım (1. adım).
4n → 4 ⋅ 1 = 4
Fakat örüntünün ilk sayısı 4 değil, 6. Demek ki bulduğumuz sonuca bir sayı eklememiz veya çıkarmamız gerekiyor. 4’ü 6 yapmak için ne yaparız? Tabii ki 2 ekleriz.
Adım 3: Öyleyse kuralımız 4n + 2 olmalı. Sağlamasını yapalım. 2. terim için n=2 yazalım: 4 ⋅ 2 + 2 = 8 + 2 = 10. Doğru! 3. terim için n=3 yazalım: 4 ⋅ 3 + 2 = 12 + 2 = 14. Bu da doğru!
Sonuç: Örüntünün kuralı 4n + 2’dir.
b) 25. terimindeki sayıyı bulunuz.
Adım 1: Artık kuralı biliyoruz: 4n + 2. Bizden 25. terimi bulmamız isteniyor. Bu yüzden ‘n’ yerine 25 yazacağız.
4 ⋅ (25) + 2
100 + 2 = 102
Sonuç: Örüntünün 25. terimi 102’dir.
c) 100. ile 50. terimlerindeki sayıların farkını bulunuz.
Adım 1: Önce 100. terimi bulalım. Kuralda n yerine 100 yazacağız.
100. Terim = 4 ⋅ (100) + 2 = 400 + 2 = 402
Adım 2: Şimdi de 50. terimi bulalım. Kuralda n yerine 50 yazacağız.
50. Terim = 4 ⋅ (50) + 2 = 200 + 2 = 202
Adım 3: Son olarak bu iki terimin farkını bulalım.
402 – 202 = 200
Sonuç: 100. ve 50. terimler arasındaki fark 200’dür.
Soru 4: Ercan, her gün, yaptığı ödevlerin doğruluğunu kontrol ediyor. Bu iş için ilk gün 20 dakika ayırdı. Sonraki her gün, bir önceki gün ayırdığı süreden 2 dakika daha fazla zaman ayırdı. Ercan’ın ödev kontrolü için ayırdığı zaman ile geçen gün arasındaki ilişkiyi belirten cebirsel ifadeyi yazınız. 10. gün, Ercan’ın ödev kontrolü için kaç dakika ayırdığını belirleyiniz.
Bu soru da aslında bir önceki gibi bir örüntü sorusu. Hadi Ercan’ın zamanını hesaplayalım.
Adım 1: Önce örüntüyü yazalım. 1. gün 20 dakika, sonraki günler 2’şer dakika artıyor.
1. Gün: 20 dk
2. Gün: 22 dk
3. Gün: 24 dk
Gördüğün gibi, artış miktarı 2. Bu, kuralımızın 2n ile başlayacağını gösterir.
Adım 2: Kuralı test edelim. n=1 (1. gün) için 2n = 2 ⋅ 1 = 2. Ama ilk gün 20 dakika ayırmıştı. 2’yi 20 yapmak için 18 eklemeliyiz.
Öyleyse kuralımız: 2n + 18. Kontrol edelim: n=2 için 2 ⋅ 2 + 18 = 4 + 18 = 22. Doğru!
Sonuç 1: Zaman ile gün arasındaki ilişkiyi gösteren cebirsel ifade 2n + 18’dir.
Adım 3: Şimdi sorunun ikinci kısmını çözelim. 10. gün kaç dakika ayırdığını bulmamız isteniyor. Kuralımızda n yerine 10 yazacağız.
2 ⋅ (10) + 18
20 + 18 = 38
Sonuç 2: Ercan 10. gün ödev kontrolü için 38 dakika ayırmıştır.
Soru 5: Yukarıdaki şekil örüntüsü, kare ve eşkenar üçgenler kullanılarak oluşturulmuştur. Şekil örüntüsündeki eşkenar üçgen sayısı ile kare sayısı arasındaki ilişkiyi harfle ifade ediniz.
Bu son sorumuz da bir şekil örüntüsü. Kare ve üçgen sayıları arasındaki bağlantıyı bulacağız.
Adım 1: Her adımdaki kare ve üçgen sayılarını bir tabloya yazalım. Bu, ilişkiyi görmemizi kolaylaştırır. Kare sayısına k, üçgen sayısına ü diyelim.
- Adım 1: 1 kare, 0 üçgen (Bu başlangıç adımımız)
- Adım 2: 1 kare, 4 üçgen
- Adım 3: 2 kare, 6 üçgen
Adım 2: Örüntünün nasıl büyüdüğüne bakalım. Adım 2’den Adım 3’e geçerken 1 kare ve 2 üçgen eklenmiş. Bu şekilde devam etseydi, 4. adımda 3 kare ve 8 üçgen olurdu. Bizden istenen, kare sayısı (k) ile üçgen sayısı (ü) arasındaki ilişki. Adım 1’i başlangıç olarak kabul edip, örüntünün büyüdüğü 2. ve 3. adımlara odaklanalım.
k = 1 iken ü = 4 olmuş.
k = 2 iken ü = 6 olmuş.
Adım 3: Bir kural bulmaya çalışalım. Kare sayısının (k) 2 katını alıp 2 eklersek ne olur?
k = 1 için deneyelim: 2 ⋅ (1) + 2 = 2 + 2 = 4. Üçgen sayısını (ü) verdi. Doğru!
k = 2 için deneyelim: 2 ⋅ (2) + 2 = 4 + 2 = 6. Üçgen sayısını (ü) verdi. Bu da doğru!
Demek ki kuralımız doğru.
Sonuç: Üçgen sayısı (ü), kare sayısının (k) 2 katının 2 fazlasına eşittir. Cebirsel olarak bunu şöyle ifade ederiz: ü = 2k + 2
Umarım tüm çözümleri net bir şekilde anlamışsındır. Unutma, matematik bol bol pratik yaparak öğrenilir. Başarılar dilerim!