Merhaba gençler! Ben 7. sınıf matematik öğretmeniniz. Gönderdiğiniz görseldeki soruları çok beğendim, tam da konularımızı pekiştirecek türden. Hadi şimdi bu soruları birlikte, adım adım ve herkesin anlayacağı bir şekilde çözelim. Hazırsanız, başlıyoruz!
Soru 5. Yandaki çokgen, bir düzgün sekizgendir. Şekilde verilenlere göre x açı ölçüsü kaç derecedir?
Merhaba sevgili öğrencim. Bu soruyu çözmek için önce “düzgün sekizgen” ne demek onu hatırlayalım. Düzgün sekizgen, bütün kenar uzunlukları ve bütün iç açıları birbirine eşit olan sekiz kenarlı bir çokgendir.
Adım 1: İlk olarak bir düzgün sekizgenin bir iç açısının kaç derece olduğunu bulalım. Bunun için `(n-2) * 180 / n` formülünü kullanabiliriz, burada ‘n’ kenar sayısıdır. Sekizgen için n=8’dir.
İşlemi yapalım: `(8-2) * 180 / 8 = 6 * 180 / 8 = 1080 / 8 = 135` derece.
Demek ki bir düzgün sekizgenin her bir iç açısı 135 dereceymiş. Zaten şekle baktığımızda da çoğu açının 135° olarak verildiğini görüyoruz, bu da bize ipucu veriyor.
Adım 2: Şekildeki bütün iç açılar birbirine eşit olmalıdır. Bize verilmeyen açılar `x – 40°` olarak ifade edilmiş. Bu açıların da diğerleri gibi 135° olması gerekir.
Adım 3: O zaman denklemi kurabiliriz:
`x – 40 = 135`
Bu denklemde x’i yalnız bırakmak için -40’ı eşitliğin diğer tarafına +40 olarak geçiririz.
`x = 135 + 40`
`x = 175`
Sonuç: x açısının ölçüsü 175 derecedir.
Soru 6. Bir düzgün yedigenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Harika bir formül hatırlatma sorusu! Bir çokgenin iç açılarının toplamını bulmak için kullandığımız sihirli bir formülümüz vardı. Bu formül, çokgenin düzgün olup olmamasından etkilenmez, tüm çokgenler için geçerlidir.
Adım 1: Formülümüzü hatırlayalım: `(n-2) * 180`. Burada ‘n’ yine kenar sayısını temsil ediyor. Soruda bize “yedigen” denmiş, yani bu çokgenin 7 kenarı var. O halde n=7 alacağız.
Adım 2: Şimdi formülde ‘n’ yerine 7 yazıp işlemi yapalım.
`(7-2) * 180`
`5 * 180`
`900`
Sonuç: Bir düzgün yedigenin iç açılarının ölçüleri toplamı 900 derecedir.
Soru 7. Bir düzgün otuzgenin dış açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
Bu soru, en sevdiğim konulardan biri çünkü içinde küçük bir sürpriz barındırıyor! Çokgenlerin dış açıları hakkında çok önemli bir kuralımız var.
Adım 1: Kuralı hatırlayalım: BÜTÜN dışbükey çokgenlerin (üçgen, dörtgen, beşgen, otuzgen… fark etmez!) dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman sabittir.
Adım 2: Bu sabit sayı 360 derecedir. Yani çokgenin 3 kenarı mı var, 10 kenarı mı var, yoksa sorudaki gibi 30 kenarı mı var, hiç önemli değil. Cevap asla değişmez.
Sonuç: Bir düzgün otuzgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 derecedir.
Soru 8. Yandaki ABCDE beşgeninde m(BAE) = 109°, m(AED) = 125°, m(EDF) = 90°, m(BCD) = 108° ise m(ABC) = x kaç derecedir?
Bu soruda bir beşgenin iç açılarını kullanacağız. Ama dikkat, bir tane de dış açı verilmiş! Önce onu iç açıya çevirmeliyiz.
Adım 1: İlk olarak beşgenin iç açıları toplamını bulalım. Formülümüz `(n-2) * 180` idi. Beşgen için n=5’tir.
`(5-2) * 180 = 3 * 180 = 540` derece.
Demek ki bu beşgenin içindeki 5 açının toplamı 540° olmalı.
Adım 2: Şekilde D köşesindeki dış açı `m(EDF) = 90°` olarak verilmiş. Bir iç açı ile bir dış açının toplamı her zaman 180°’dir (doğru açı oluştururlar). O zaman D köşesindeki iç açıyı (m(CDE)) bulalım.
`m(CDE) = 180 – 90 = 90` derece.
Adım 3: Artık beşgenin 4 tane iç açısını biliyoruz: A=109°, E=125°, D=90°, C=108°. Bilmediğimiz tek açı B açısı, yani x. Bu dört açıyı toplayıp toplamdan (540°) çıkarırsak x’i buluruz.
Bilinen açıların toplamı: `109 + 125 + 90 + 108 = 432` derece.
Adım 4: Şimdi x’i bulalım.
`x = 540 – 432`
`x = 108` derece.
Sonuç: x açısının ölçüsü 108 derecedir. Bu durumda doğru seçenek C) 108°‘dir.
Soru 9. Bir dörtgen ve yedigen çiziniz. Çizdiğiniz çokgenlerin köşegenlerini belirtiniz.
Bu bir çizim ve tanım sorusu. Köşegenin ne olduğunu hatırlayalım: Bir çokgende, birbirine komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına köşegen denir.
Dörtgen için:
Herhangi bir dörtgen (kare, dikdörtgen, yamuk vb.) çizin. Dörtgenin 4 köşesi vardır. Bir köşeden başlayalım. Bu köşenin komşusu olmayan tek bir köşe vardır (karşı köşesi). Bu iki köşeyi birleştirdiğimizde bir köşegen elde ederiz. Diğer iki köşeyi de birleştirdiğimizde ikinci köşegeni çizeriz. Yani bir dörtgenin toplam 2 tane köşegeni vardır.
Yedigen için:
7 kenarı ve 7 köşesi olan bir çokgen çizin. Bir köşesini seçin. Bu köşenin iki tane komşu köşesi vardır (sağındaki ve solundaki). Geriye kalan 4 köşe komşu değildir. Seçtiğiniz köşeden bu 4 köşenin her birine birer çizgi çizerseniz, o köşeden çıkan 4 tane köşegeni çizmiş olursunuz. Bu işlemi her köşe için yapabilirsiniz. Bir yedigenin toplamda 14 tane köşegeni vardır.
Soru 10. Yandaki ABCD dikdörtgeninde [AC] köşegen, m(DAC) = x + 10° ve m(BCA) = 2x – 40° ise x kaç derecedir?
Dikdörtgenler ve paralellik kuralları! Bu soruyu çözmek için “Z kuralı” olarak da bildiğimiz iç ters açıları kullanacağız.
Adım 1: Dikdörtgenin özelliklerini hatırlayalım. Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir. Yani AD kenarı ile BC kenarı birbirine paraleldir (`AD // BC`). [AC] köşegeni ise bu iki paralel doğruyu kesen bir doğrudur.
Adım 2: Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde oluşan iç ters açılar birbirine eşittir. Şekildeki `m(DAC)` açısı ile `m(BCA)` açısı tam olarak bu kurala uyar. Bir “Z” harfi çizdiğinizi hayal edin, Z’nin köşelerinde kalan açılar bunlardır.
Adım 3: Öyleyse bu iki açının ölçüsünü birbirine eşitleyebiliriz.
`x + 10 = 2x – 40`
Şimdi denklemi çözelim. Bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım.
`10 + 40 = 2x – x`
`50 = x`
Sonuç: x’in değeri 50‘dir.
Soru 11. Yandaki ABCK yamuğunda m(KAB) = y – 10°, m(ABC) = 61°, m(BCK) = x + 10° ve m(AKC) = 123°dir. Buna göre x + y toplamı kaç derecedir?
Yamuk sorularında aklımıza gelmesi gereken ilk kural, paralel kenarlar arasındaki “U kuralı”dır.
Adım 1: Yamuğun tanımı gereği alt ve üst tabanları birbirine paraleldir. Şekle göre AB kenarı ile KC kenarı paraleldir (`AB // KC`). Paralel doğrular arasında kalan ve aynı kenar (yan kenar) üzerinde bulunan açıların toplamı 180°’dir.
Adım 2: Önce BC kenarı üzerindeki açılara bakalım. `m(ABC)` ve `m(BCK)` açıları bu kurala uyar. Toplamları 180° olmalıdır.
`m(ABC) + m(BCK) = 180`
`61 + (x + 10) = 180`
`x + 71 = 180`
`x = 180 – 71`
`x = 109`
Adım 3: Şimdi de AK kenarı üzerindeki açılara bakalım. `m(KAB)` ve `m(AKC)` açıları da aynı kurala uyar ve toplamları 180° olmalıdır.
`m(KAB) + m(AKC) = 180`
`(y – 10) + 123 = 180`
`y + 113 = 180`
`y = 180 – 113`
`y = 67`
Adım 4: Soru bizden `x + y` toplamını istiyor. Bulduğumuz değerleri toplayalım.
`x + y = 109 + 67`
`x + y = 176`
Sonuç: x + y toplamı 176‘dır. Bu durumda doğru seçenek D) 176‘dır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Gördüğünüz gibi kuralları bildiğimizde sorular ne kadar da kolaylaşıyor! Takıldığınız başka bir yer olursa yine sorun, birlikte çözeriz. İyi çalışmalar!