Merhaba sevgili öğrencilerim! Ben 7. Sınıf Matematik öğretmeniniz. Bugün birlikte, kitabımızdaki çok keyifli bir etkinliği adım adım çözeceğiz. Bu etkinlik sayesinde yamuğun alan formülünün nereden geldiğini kendimiz keşfedeceğiz. Hazırsanız, haydi başlayalım!
Etkinlik Sorusu
Araç Gereç: Kareli kâğıt
- Kareli kâğıda, yandaki gibi bir ABCD yamuğu çizelim.
- ABCD yamuğuna eş ve [BC] kenarları çakışık olacak şekilde BKLC yamuğunu, yandaki gibi kareli kâğıda çizelim.
- Oluşan AKLD paralelkenarının uzun kenar uzunluğunu ve yüksekliğini belirleyiniz.
- AKLD paralelkenarının alanını bulunuz.
- ABCD yamuğu ile AKLD paralelkenarının alanları arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.
- Belirlediğiniz ilişkiye göre yamuğun alan bağıntısını belirten genel bir ifade yazınız. Yazdığınız ifadeyi arkadaşlarınızla paylaşınız.
Çözüm
Bu etkinliği, sanki elimizde kareli bir kağıt varmış gibi yönergeleri takip ederek yapacağız. Amacımız, iki eş yamuktan bir paralelkenar oluşturmak ve bu paralelkenarın alanından yola çıkarak yamuğun alan formülünü bulmak. Çok zekice bir yöntem, değil mi?
Adım 1: Yamukları ve Oluşan Paralelkenarı İnceleyelim
İlk iki adımda bizden bir ABCD yamuğu çizmemiz, sonra da bu yamuğun aynısından bir tane daha (BKLC yamuğu) alıp, BC kenarları üst üste gelecek şekilde birleştirmemiz isteniyor. Görselde bu birleştirme yapılmış ve ortaya AKLD isminde bir şekil çıkmış. Dikkatli bakarsak, bu yeni şeklin bir paralelkenar olduğunu görürüz. Çünkü AK kenarı ile DL kenarı birbirine paralel ve eşittir.
Adım 2: Paralelkenarın Taban Uzunluğunu ve Yüksekliğini Bulalım
Şimdi bizden istenen, oluşan AKLD paralelkenarının uzun kenarını (yani tabanını) ve yüksekliğini bulmak. Bunu kareleri sayarak kolayca yapabiliriz.
- Yükseklik (h): Paralelkenarın yüksekliği, D noktasından AK tabanına inen dikmedir. Kareleri saydığımızda yüksekliğin 4 birim olduğunu görüyoruz.
- Uzun Kenar (Taban): Paralelkenarın tabanı AK kenarıdır. Bu kenar, aslında iki parçadan oluşuyor: AB ve BK.
- |AB| uzunluğu, ilk yamuğumuzun alt tabanıdır. Sayalım: 6 birim.
- |BK| uzunluğu ise ikinci yamuğun alt tabanıdır. Fakat dikkat! İkinci yamuk ters çevrilip eklendiği için, onun |BK| kenarı, ilk yamuğun üst tabanı olan |DC| kenarına eşittir. |DC| kenarını sayalım: 2 birim.
- Öyleyse paralelkenarın tabanı |AK| = |AB| + |BK| = 6 + 2 = 8 birim‘dir.
Sonuç olarak; AKLD paralelkenarının tabanı 8 birim, yüksekliği ise 4 birimdir.
Adım 3: Paralelkenarın Alanını Bulalım
Paralelkenarın alan formülünü hatırlayalım: Alan = Taban × Yükseklik.
Az önce bulduğumuz değerleri yerine koyalım:
Alan(AKLD) = 8 × 4 = 32 birimkare
Adım 4: Yamuk ile Paralelkenarın Alanları Arasındaki İlişkiyi Belirleyelim
Bu en önemli adım! Biz bu AKLD paralelkenarını nasıl oluşturmuştuk? Birbirine eş iki tane yamuğu birleştirerek. Demek ki bu paralelkenarın alanı, bir tane yamuğun alanının tam iki katıdır.
O zaman bir tane ABCD yamuğunun alanı, paralelkenarın alanının yarısı olmalıdır.
Alan(ABCD) = Alan(AKLD) / 2
Alan(ABCD) = 32 / 2 = 16 birimkare
Adım 5: Yamuğun Genel Alan Formülünü Yazalım
Şimdiye kadar yaptıklarımızı harflere dökerek genel bir kural, yani formül oluşturalım.
- Yamuğun alt tabanına ‘a‘ diyelim. (Bizim örneğimizde |AB| = 6 birimdi)
- Yamuğun üst tabanına ‘c‘ diyelim. (Bizim örneğimizde |DC| = 2 birimdi)
- Yamuğun yüksekliğine ‘h‘ diyelim. (Bizim örneğimizde 4 birimdi)
Paralelkenarın tabanını nasıl bulmuştuk? Alt taban ile üst tabanı toplayarak. Yani (a + c).
Paralelkenarın alanını nasıl bulmuştuk? Taban ile yüksekliği çarparak. Yani (a + c) × h.
Peki yamuğun alanı neydi? Bu paralelkenarın alanının yarısıydı.
İşte size yamuğun alan formülü!
Yamuğun Alanı = (Alt Taban + Üst Taban) × Yükseklik / 2
Yani kısaca: Alan = (a + c) × h / 2
Gördüğünüz gibi, bir formülü ezberlemek yerine onun nereden geldiğini anladığımızda matematik çok daha anlamlı ve kalıcı hale geliyor. Harika bir iş çıkardınız!