Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 7. sınıf matematik öğretmeniniz. Şimdi bana gönderdiğiniz bu “Alıştırmalar” sayfasındaki soruları birlikte, adım adım çözeceğiz. Unutmayın, matematikte en önemli şey soruyu doğru anlamak ve adımları sırayla takip etmektir. Haydi başlayalım!
Soru 1: Bir firma sahibi, işlerini aynı kapasitedeki işçilere 20 günde yaptırmaktadır. İşlerini 10 günde yaptırmak isteyen firma sahibi, aynı kapasitedeki işçilerin sayısını kaç katına çıkartmalıdır?
Bu soru tam bir ters orantı sorusu. Neden mi? Çünkü bir işi daha kısa sürede bitirmek istiyorsak, daha fazla işçiye ihtiyacımız olur. Yani, işin bitme süresi (gün) azalırken, gereken işçi sayısı artar. Biri azalırken diğeri artıyorsa, bu duruma ters orantı diyoruz.
Adım 1: Ters orantı denklemini kuralım. Ters orantıda çoklukların çarpımı her zaman sabittir.
(İşçi Sayısı) x (Gün Sayısı) = k (Orantı Sabiti)
Adım 2: İlk durumu ve ikinci durumu bu denkleme göre birbirine eşitleyelim. Başlangıçtaki işçi sayısını bilmediğimiz için ona “İ” diyelim.
(İlk İşçi Sayısı) x (İlk Gün Sayısı) = (Yeni İşçi Sayısı) x (Yeni Gün Sayısı)
(İ) x (20) = (Yeni İşçi Sayısı) x (10)
Adım 3: Şimdi “Yeni İşçi Sayısı”nı bulmak için denklemi çözelim.
20 x İ = 10 x (Yeni İşçi Sayısı)
Eşitliğin her iki tarafını da 10’a bölebiliriz.
(20 x İ) / 10 = Yeni İşçi Sayısı
2 x İ = Yeni İşçi Sayısı
Sonuç:
Gördüğümüz gibi, yeni işçi sayısı ilk işçi sayısının 2 katı olmalıdır. Yani firma sahibi işçi sayısını 2 katına çıkartmalıdır.
Soru 2: Yandaki tabloda, c ile d değişkenlerinin bazı değerleri belirtilmiştir. Tabloya göre c ile d değişkenlerinin ters orantılı olup olmadığını belirleyiniz.
Arkadaşlar, iki değişkenin ters orantılı olup olmadığını anlamanın çok basit bir kuralı var: Değişkenlerin birbiriyle eşleşen değerlerini çarparız. Eğer bütün çarpımların sonucu aynı çıkıyorsa, bu iki değişken ters orantılıdır. Haydi tablodaki değerleri çarpıp kontrol edelim.
Adım 1: Tablodaki her satır için c ve d değerlerini çarpalım.
- 1 x 100 = 100
- 2 x 50 = 100
- 4 x 25 = 100
- 5 x 20 = 100
- 10 x 10 = 100
- 20 x 5 = 100
- 25 x 4 = 100
- 50 x 2 = 100
- 100 x 1 = 100
Adım 2: Sonuçları karşılaştıralım.
Gördüğünüz gibi, her satırda c ve d değerlerinin çarpımı 100‘e eşit çıktı.
Sonuç:
Çarpımların hepsi sabit bir sayıya (100’e) eşit olduğu için c ile d değişkenleri ters orantılıdır.
Soru 3: Yandaki tabloda, x ile y değişkenlerinin bazı değerleri belirtilmiştir. x ile y değişkenleri ters orantılı olduğuna göre tablodaki sembollerin yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.
Bu soruda bize x ve y’nin ters orantılı olduğu zaten söylenmiş. Harika! Bu demektir ki, tablodaki her x ve y çiftini çarptığımızda hep aynı sonucu, yani orantı sabitini (k) bulmalıyız.
Adım 1: Orantı sabitini (k’yı) bulalım. Bunun için tabloda bize tam olarak verilen bir satırı kullanabiliriz. Örneğin ilk satır:
k = x * y = 1 * 80 = 80
(İkinci satırı da kontrol edelim: 2 * 40 = 80. Evet, sabitimiz 80.)
Adım 2: Şimdi bu sihirli sayımız olan 80’i kullanarak eksik sembolleri bulalım. Unutmayın, her satırda x * y = 80 olmalı.
- ▲ için: 4 * ▲ = 80 => ▲ = 80 / 4 =>▲ = 20
- * için: 5 * * = 80 => * = 80 / 5 =>* = 16
- ◆ için: 8 * ◆ = 80 => ◆ = 80 / 8 =>◆ = 10
- ■ için: ■ * 5 = 80 => ■ = 80 / 5 =>■ = 16
- ▼ için: 20 * ▼ = 80 => ▼ = 80 / 20 =>▼ = 4
Sonuç:
Bulduğumuz sayılar şunlardır: ▲=20, *=16, ◆=10, ■=16, ▼=4.
Soru 4: p ile r ters orantılıdır. p = 17 iken r = 12 ise r = 6 iken p kaç olur?
Ters orantı dendiğinde aklımıza hemen ne geliyordu? Evet, doğru! İki değişkenin çarpımı sabittir. Yani p * r = k.
Adım 1: Bize verilen ilk değerleri kullanarak orantı sabitini (k’yı) bulalım.
p = 17 ve r = 12 ise,
k = p * r = 17 * 12 = 204
Adım 2: Artık bu iki değişkenin çarpımının her zaman 204 olması gerektiğini biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak r = 6 iken p’nin değerini bulalım.
p * r = 204
p * 6 = 204
Adım 3: p’yi bulmak için 204’ü 6’ya bölelim.
p = 204 / 6 = 34
Sonuç:
r = 6 iken p = 34 olur.
Soru 5: 5x = 8y eşitliğinde x, 5 ile; y, 8 ile ters orantılıdır. Buna göre x = 40 iken y kaç olur?
Sevgili arkadaşlar, bu soruda bize zaten sihirli formül verilmiş: 5x = 8y. Bu eşitlik, x ve y arasındaki ters orantı ilişkisini gösterir. Yapmamız gereken tek şey, bize verilen x değerini bu denklemde yerine yazmak.
Adım 1: Soruda x = 40 olduğu belirtilmiş. Denklemde x gördüğümüz yere 40 yazalım.
5 * x = 8 * y
5 * (40) = 8 * y
Adım 2: Eşitliğin sol tarafındaki çarpma işlemini yapalım.
200 = 8 * y
Adım 3: Şimdi y’yi bulmak için “Hangi sayıyı 8 ile çarparsak 200 eder?” diye düşünüyoruz. Bunun için 200’ü 8’e bölmemiz yeterli.
y = 200 / 8
y = 25
Sonuç:
x = 40 iken y = 25 olur.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!