Merhaba sevgili öğrencilerim!
Bugün sizlerle çember ve daire konusundaki bu güzel soruları birlikte çözeceğiz. Unutmayın, geometri sabır ve dikkat işidir. Adım adım ilerlediğimizde ne kadar kolay olduğunu göreceksiniz. Haydi başlayalım!
17. Aşağıdaki çemberlerde verilenlere göre x açı ölçülerini bulunuz.
Bu sorularda çemberdeki açılar ve yaylar arasındaki ilişkileri hatırlamamız gerekiyor. En temel kuralımız neydi? Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
a) m(ABC yayı) = 90°, m(AOC) = x
Çözüm:
- Adım 1: Şekle baktığımızda, x ile gösterilen AOC açısının bir merkez açı olduğunu görüyoruz. Çünkü açının köşesi çemberin merkezi olan O noktasında.
- Adım 2: Bu merkez açının gördüğü yay ise ABC yayıdır. Soruda bize bu yayın ölçüsünün 90° olduğu verilmiş.
- Adım 3: Kuralımızı hatırlayalım: Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
m(AOC) = m(ABC yayı)
Bu durumda, x = 90° olur.
b) m(KNM yayı) = 260°, m(KOM) = x
Çözüm:
- Adım 1: Yine x ile gösterilen KOM açısı bir merkez açıdır. Bu açının gördüğü yay ise KLM yayıdır.
- Adım 2: Soruda bize büyük olan KNM yayının ölçüsü 260° olarak verilmiş. Ama bizim merkez açımız küçük olan KLM yayını görüyor. Bir çemberin tamamının 360° olduğunu biliyoruz.
- Adım 3: Küçük yayın (KLM yayı) ölçüsünü bulmak için, çemberin tamamından bize verilen büyük yayın ölçüsünü çıkarırız.
m(KLM yayı) = 360° – m(KNM yayı)
m(KLM yayı) = 360° – 260° = 100° - Adım 4: Artık merkez açımızın gördüğü yayın ölçüsünü biliyoruz. Merkez açı gördüğü yaya eşit olduğu için;
x = 100° olarak bulunur.
c) m(PMS açısı) = 110°, m(PRS açısı) = x
Çözüm:
- Adım 1: Bu soruda açılarımızın köşeleri çemberin üzerinde. Bu tür açılara çevre açı diyoruz. Çevre açının kuralı ise şudur: Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Adım 2: Bize verilen PMS açısı 110°. Bu açının gördüğü yay ise büyük olan PRS yayıdır. Öyleyse yayın ölçüsü açının 2 katı olmalıdır.
m(PRS yayı) = 2 * m(PMS açısı)
m(PRS yayı) = 2 * 110° = 220° - Adım 3: Bizden istenen x, yani PRS açısı. Bu açı ise küçük olan PS yayını görüyor. Önce PS yayının ölçüsünü bulalım.
m(PS yayı) = 360° – m(PRS yayı)
m(PS yayı) = 360° – 220° = 140° - Adım 4: x açısı, ölçüsünü 140° bulduğumuz PS yayını gören bir çevre açıdır. Kuralımıza göre yayın yarısına eşit olmalı.
x = m(PS yayı) / 2
x = 140° / 2 = 70°
Sonuç olarak, x = 70°‘dir.
ç) m(DMF yayı) = 68°, m(DKF) = x
Çözüm:
- Adım 1: Bu soruda da bir çevre açı var. x ile gösterilen DKF açısı bir çevre açıdır.
- Adım 2: Bu çevre açının gördüğü yay DF yayıdır. Soruda bize verilen DMF yayının ölçüsü 68°. Bu, DF yayının ölçüsü demektir.
- Adım 3: Çevre açı kuralımızı tekrar hatırlayalım: Ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.
x = m(DF yayı) / 2
x = 68° / 2 = 34°
Yani, x = 34°‘dir.
18. Bir dairenin alanı 75 cm²’dir. Dairenin yarıçap uzunluğu 2 katına çıkarılırsa alanı kaç cm² olur?
Çözüm:
Sevgili gençler, bu soruyu iki yolla çözebiliriz. Formül kullanmadan, sadece mantık yürüterek bile yapabiliriz.
Dairenin Alanı = π * r²
Bu formülde alanın yarıçapın “karesi” ile doğru orantılı olduğunu görüyoruz. Yani yarıçap 2 katına çıkarsa, alan 2’nin karesi olan 4 katına çıkar. Yarıçap 3 katına çıksaydı, alan 3’ün karesi olan 9 katına çıkardı.
- Adım 1: İlk alanımız 75 cm².
- Adım 2: Yarıçap 2 katına çıktığı için alan 4 katına çıkacaktır.
- Adım 3: Yeni alanı bulmak için eski alanı 4 ile çarparız.
Yeni Alan = 75 * 4 = 300 cm²
Sonuç: Yeni alan 300 cm² olur.
19. Yandaki O merkezli dairede, m(AOB yayı) = 120° ve mavi daire diliminin alanı 15 cm² ise dairenin alanı kaç cm²’dir (π’yi 3 alınız.)?
Çözüm:
Burada oran orantı kurmak en kolayı! Bir daire diliminin alanı, o dilimin merkez açısıyla doğru orantılıdır.
- Adım 1: Mavi dilimin merkez açısı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir, yani 120°’dir.
- Adım 2: Dairenin tamamının merkez açısı 360°’dir.
- Adım 3: Şöyle bir orantı kurabiliriz:
120 derecelik dilimin alanı 15 cm² ise,
360 derecelik (yani tüm dairenin) alanı kaç cm²’dir? - Adım 4: 360, 120’nin tam 3 katıdır. O zaman tüm dairenin alanı da dilimin alanının 3 katı olmalıdır.
Tüm Alan = 15 * 3 = 45 cm²
Doğru cevap C) 45‘tir.
20. Yandaki tabloda, bazı dairelerin yarıçap uzunlukları (cm) veya alanı (cm²) verilmiştir. Buna göre tablodaki renkli bölgelere uygun sayıları yazınız (π’yi 3 alınız.).
Çözüm:
Bu soruda kullanacağımız tek bir formül var: Alan = π * r². Soruda π’yi 3 almamız istenmiş, yani formülümüz Alan = 3 * r² oldu.
Yeşil Bölge (Yarıçap = 6 cm):
- Alan = 3 * (6)² = 3 * 36 = 108 cm²
Sarı Bölge (Yarıçap = 7 cm):
- Alan = 3 * (7)² = 3 * 49 = 147 cm²
Pembe Bölge (Alan = 300 cm²):
- 300 = 3 * r²
- Her iki tarafı 3’e böleriz: r² = 100
- Karesi 100 olan sayı 10’dur. Yarıçap = 10 cm
Mavi Bölge (Alan = 192 cm²):
- 192 = 3 * r²
- Her iki tarafı 3’e böleriz: r² = 64
- Karesi 64 olan sayı 8’dir. Yarıçap = 8 cm
21. Yandaki M merkezli dairede, |MK| = 8 cm ve mor daire diliminin alanı 80 cm² ise m(TMK) kaç derecedir (π’yi 3 alınız.)?
Çözüm:
Bu soruda bize dilimin alanını ve yarıçapı verip merkez açıyı soruyor. Daire dilimi alan formülünü kullanacağız.
Daire Dilimi Alanı = (Merkez Açı / 360) * π * r²
- Adım 1: Önce tüm dairenin alanını bulalım. Yarıçap (r) 8 cm verilmiş.
Tüm Alan = π * r² = 3 * (8)² = 3 * 64 = 192 cm² - Adım 2: Şimdi yine oran orantı kurabiliriz.
Dairenin tamamı (192 cm²) 360° ise,
80 cm²’lik dilim kaç derecedir? - Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım. (Merkez Açı * 192) = (80 * 360)
Merkez Açı = (80 * 360) / 192 - Adım 4: Sadeleştirme yapalım. 80 ile 192’yi 16’ya bölebiliriz. 80/16=5, 192/16=12.
Merkez Açı = (5 * 360) / 12
360’ı 12’ye bölersek 30 olur.
Merkez Açı = 5 * 30 = 150°
Sonuç olarak m(TMK) açısı 150°‘dir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Hepinize iyi çalışmalar dilerim!