Harika bir etkinlik, sevgili öğrencilerim! Gelin bu görseldeki adımları birlikte takip ederek rasyonel sayılarla toplama işleminin önemli bir özelliğini keşfedelim ve verilen örneği de adım adım çözelim.
Etkinlik Analizi ve Uygulaması
Görseldeki ilk bölüm, bize bir özellik keşfettirmeyi amaçlayan bir etkinlik. Hadi bu adımları birlikte uygulayalım.
- Adım 1: İki pozitif rasyonel sayı belirleyelim.
Örneğin sayılarımız 1/2 ve 1/4 olsun. Basit ve anlaşılır sayılar seçmek işimizi kolaylaştırır. - Adım 2: Bu sayıları toplayalım ve sonucu not edelim.
Rasyonel sayılarda toplama yaparken ne yapıyorduk? Elbette önce paydaları eşitliyorduk!
1/2 + 1/4 işlemini yapalım. 2’nin paydasını 4 yapmak için 2 ile genişletmemiz gerekir.
(2/4) + (1/4) = 3/4
Sonucumuzu bulduk: 3/4. - Adım 3: Toplananların yerlerini değiştirelim ve tekrar toplayalım.
Şimdi sayıların yerini değiştirelim: 1/4 + 1/2.
Yine paydaları eşitlememiz gerekiyor.
(1/4) + (2/4) = 3/4
Bu işlemin sonucunu da 3/4 olarak bulduk. - Adım 4: Sonuçları karşılaştıralım.
İlk işlemimizin sonucu 3/4’tü. İkinci işlemimizin sonucu da 3/4. Gördüğünüz gibi, sonuçlar birbirine eşit! - Adım 5: Genel bir ifade yazalım.
Bu durumdan nasıl bir genelleme çıkarabiliriz? Demek ki rasyonel sayılarla toplama işlemi yaparken, sayıların hangi sırada olduğunun bir önemi yok. Sonuç her zaman aynı çıkıyor.Yani, a ve b herhangi iki rasyonel sayı olmak üzere;
a + b = b + a her zaman doğrudur.İşte matematikte bu kurala TOPLAMA İŞLEMİNİN DEĞİŞME ÖZELLİĞİ diyoruz.
Rasyonel Sayılarla Toplama İşleminin Özellikleri
Soru: a. Değişme Özelliği: Rasyonel sayılarla toplama işleminde, toplananların yerleri değiştirildiğinde işlem sonuçlarının değişip değişmediğini inceleyelim.
2/10 + (-7/15) = -7/15 + 2/10
Çözüm:
Arkadaşlar, bu eşitliğin doğru olup olmadığını kanıtlamak için eşitliğin hem sol tarafını hem de sağ tarafını ayrı ayrı çözeceğiz. Eğer iki taraf da aynı sonuca ulaşıyorsa, değişme özelliğinin bu sayılar için de geçerli olduğunu görmüş olacağız.
Adım 1: Paydaları Eşitleme
Toplama yapabilmek için ilk kuralımız paydaları eşitlemektir. Paydalarımız 10 ve 15. İkisinin de ortak katı olan en küçük sayı kaçtır? Evet, 30! O zaman her iki kesrin paydasını da 30 yapalım.
- 2/10 kesrini 3 ile genişletiriz: (2×3) / (10×3) = 6/30
- -7/15 kesrini 2 ile genişletiriz: (-7×2) / (15×2) = -14/30
Adım 2: Eşitliğin Sol Tarafını Çözme
Şimdi eşitliğin sol tarafındaki işlemi yapalım: 2/10 + (-7/15)
Genişlettiğimiz kesirleri yerine yazalım:
6/30 + (-14/30)
Paydalarımız artık eşit olduğuna göre payları toplayabiliriz. 6 + (-14) işlemi, tam sayılardan hatırlayacağımız gibi, büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarıp büyük sayının işaretini koymak demektir. Yani 14 – 6 = 8. Büyük olan 14’ün işareti eksi (-) olduğu için sonuç -8 olur.
Sonuç: -8/30
Adım 3: Eşitliğin Sağ Tarafını Çözme
Şimdi de eşitliğin sağ tarafındaki işlemi yapalım: -7/15 + 2/10
Genişlettiğimiz kesirleri yine yerlerine yazalım:
-14/30 + 6/30
Payları toplayalım: -14 + 6. Yine zıt işaretli iki tam sayının toplamı. 14 – 6 = 8. Büyük olan 14’ün işareti eksi (-) olduğu için sonuç yine -8 olur.
Sonuç: -8/30
Adım 4: Karşılaştırma ve Sonuç
Gördüğünüz gibi, eşitliğin sol tarafını da -8/30 bulduk, sağ tarafını da -8/30 bulduk.
-8/30 = -8/30
Sonuçlar eşit olduğu için rasyonel sayılarla toplama işleminin değişme özelliği olduğunu bir kez daha kanıtlamış olduk. Harika iş çıkardınız!