Harika bir çalışma sayfası! Hadi bu soruları birlikte, adım adım çözelim. Unutma, matematikte her sorunun bir mantığı vardır ve bunu anladığımızda her şey çok daha kolaylaşır. Hazırsan başlayalım!
Soru 1: Bir metro vagonundaki sarı koltuk sayısının, kahverengi koltuk sayısına oranı 4/3’tür. Buna göre metrodaki sarı koltuk sayısının, kahverengi koltuk sayısının ve sarı ile kahverengi koltuk sayılarının toplamının hangi doğal sayının katı olduğunu belirleyiniz.
Merhaba sevgili öğrencim, bu soruyu çözmek için oranları kullanacağız. Haydi başlayalım!
Adım 1: Oranı Anlayalım
Soruda bize sarı koltukların kahverengi koltuklara oranının 4/3 olduğu söyleniyor. Bu ne demek biliyor musun? Bu, her 4 sarı koltuğa karşılık 3 tane kahverengi koltuk var demektir. Bunu şöyle yazabiliriz:
Sarı Koltuk Sayısı / Kahverengi Koltuk Sayısı = 4/3
Adım 2: Katları Kullanalım
Bu oranın her zaman korunması için, sarı koltuk sayısının 4’ün bir katı, kahverengi koltuk sayısının ise 3’ün aynı katı olması gerekir. Bu kat’a ‘k’ diyelim. O zaman;
- Sarı Koltuk Sayısı = 4k
- Kahverengi Koltuk Sayısı = 3k
Adım 3: Toplamı Bulalım
Şimdi bizden istenen, toplam koltuk sayısının hangi sayının katı olduğu. Toplamı bulmak için sarı ve kahverengi koltuk sayılarını toplayalım.
Toplam Koltuk Sayısı = Sarı Koltuk Sayısı + Kahverengi Koltuk Sayısı
Toplam Koltuk Sayısı = 4k + 3k = 7k
Sonuç:
Gördüğün gibi, toplam koltuk sayısı 7k çıktı. Bu da demek oluyor ki, vagondaki toplam koltuk sayısı her zaman 7’nin bir katı olmak zorundadır. Harika iş!
Soru 2: Bir lokantadaki bıçak sayısının, kaşık sayısına oranı 7/8’dir. Lokantadaki bıçak ve kaşık sayıları arasındaki ilişkiyi tablo ve denklemle ifade ediniz.
Bu da bir önceki soruya benziyor. Oranları kullanarak hem denklem kuracağız hem de bir tablo oluşturacağız. Çok kolay, izle!
Adım 1: Denklem Kuralım
Bıçak sayısına ‘B’, kaşık sayısına ‘K’ diyelim. Soruda verilen oran:
B / K = 7/8
İşte bu bizim denklemimiz! Bunu içler-dışlar çarpımı yaparak 8B = 7K şeklinde de yazabiliriz. Her ikisi de doğrudur.
Adım 2: Tablo Oluşturalım
Bu oran, her 7 bıçak için 8 kaşık olduğunu söyler. Bu orana uygun bazı sayılar bularak tablomuzu dolduralım.
- Eğer 7 bıçak varsa, 8 kaşık olur.
- Eğer bıçak sayısı 2 katına çıkarsa (7×2=14), kaşık sayısı da 2 katına çıkar (8×2=16).
- Eğer bıçak sayısı 3 katına çıkarsa (7×3=21), kaşık sayısı da 3 katına çıkar (8×3=24).
İşte tablomuz:
Bıçak Sayısı (B) | Kaşık Sayısı (K)
—————–|—————–
7 | 8
14 | 16
21 | 24
70 | 80
Sonuç:
Denklemimiz B/K = 7/8 (veya 8B = 7K) ve bu denkleme uygun örnek bir tabloyu da yukarıda oluşturduk. Gördüğün gibi oranlar konusu ne kadar keyifli!
Soru 3: x/y = 1/4 orantısında x = 13 iken y kaç olur?
Bu soru, orantının en temel ve en keyifli kısımlarından biri. Sadece verilen değeri yerine koyacağız.
Adım 1: Verilen Değeri Yerine Yazalım
Orantımız x/y = 1/4. Soruda bize x’in 13 olduğu söylenmiş. O zaman ‘x’ gördüğümüz yere 13 yazalım:
13/y = 1/4
Adım 2: İçler-Dışlar Çarpımı Yapalım
Şimdi ‘y’yi bulmak için en kolay yol olan içler-dışlar çarpımını kullanalım. Yani çaprazdaki sayıları birbiriyle çarpıp eşitleyeceğiz.
13 * 4 = y * 1
52 = y
Sonuç:
İşte bu kadar! y = 52‘dir.
Soru 4: a, 11 ile; y, 14 ile doğru orantılıdır. Buna göre a = 132 iken y kaç olur?
Doğru orantı, iki çokluktan biri artarken diğerinin de aynı oranda artması demektir. Sorudaki ifade aslında bize orantıyı kurmamız için bir ipucu veriyor.
Adım 1: Orantıyı Kuralım
“a, 11 ile; y, 14 ile doğru orantılıdır” ifadesi, a/11 oranının y/14 oranına eşit olduğu anlamına gelir. Fakat bu tür sorularda genellikle kastedilen şey şudur: a’nın y’ye oranı, 11’in 14’e oranına eşittir. Yani:
a / y = 11 / 14
Adım 2: Verilen Değeri Yerine Koyalım
Şimdi a = 132 değerini bu denklemde yerine yazalım:
132 / y = 11 / 14
Adım 3: y’yi Bulalım
Burada içler-dışlar çarpımı yapabiliriz veya kat ilişkisine bakabiliriz. Kat ilişkisi daha hızlı olabilir. 11, kaç ile çarpılırsa 132 olur? Bunu bulmak için 132’yi 11’e bölelim.
132 / 11 = 12
Demek ki oranın sol tarafı 12 katına çıkmış. Orantının bozulmaması için sağ tarafının da 12 katına çıkması gerekir. O zaman y’yi bulmak için 14’ü 12 ile çarparız.
y = 14 * 12
y = 168
Sonuç:
a = 132 iken y = 168 olur. Aferin sana!
Soru 5: Bir matbaada her gün 1000 kitap, 1200 dergi basılmaktadır. Bir hafta boyunca her günün sonunda basılan toplam kitap sayısını, toplam dergi sayısına oranlayarak bir orantı oluşturunuz. Orantı sabitini belirleyiniz ve yorumlayınız.
Bu soru hem hesaplama hem de yorumlama istiyor. Adım adım gidelim.
Adım 1: Bir Haftalık Üretimi Hesaplayalım
Bir haftada 7 gün vardır. Önce bir haftada toplam kaç kitap ve kaç dergi basıldığını bulalım.
- Toplam Kitap Sayısı = 1000 (günlük) * 7 (gün) = 7000 kitap
- Toplam Dergi Sayısı = 1200 (günlük) * 7 (gün) = 8400 dergi
Adım 2: Oranı (Orantıyı) Oluşturalım
Bizden toplam kitap sayısını, toplam dergi sayısına oranlamamız isteniyor.
Oran = Toplam Kitap Sayısı / Toplam Dergi Sayısı = 7000 / 8400
Adım 3: Orantı Sabitini Bulalım
Orantı sabiti, bu oranın en sade halidir. Haydi 7000/8400 kesrini sadeleştirelim.
Önce her iki taraftan ikişer sıfır atalım: 70/84
Şimdi her iki sayıyı da 14’e bölebiliriz (veya önce 7’ye sonra 2’ye bölebilirsin).
70 ÷ 14 = 5
84 ÷ 14 = 6
Orantı sabitimiz: 5/6
Sonuç ve Yorum:
Orantı sabitimiz k = 5/6‘dır. Bu ne anlama geliyor? Bu matbaada basılan her 5 kitaba karşılık 6 dergi basılmaktadır.
Soru 6: Yandaki tabloda, birbirleriyle doğru orantılı olan a ve b değişkenlerinin bazı değerleri belirtilmiştir. a değerlerini, b değerlerine oranlayarak orantı oluşturunuz. Orantı sabitini belirleyiniz ve yorumlayınız.
Doğru orantılı demek, a/b oranının her zaman aynı kalması demektir. Tablodan rastgele bir çift seçip bu oranı bulalım.
Adım 1: Oranı Hesaplayalım
Tablodan herhangi bir satırı seçelim. Örneğin, a=6 ve b=16 satırını alalım.
Oran = a / b = 6 / 16
Şimdi bu kesri en sade haline getirelim. Her iki tarafı da 2’ye bölelim.
6 ÷ 2 = 3
16 ÷ 2 = 8
Oranımız 3/8. Buna orantı sabiti diyoruz ve ‘k’ ile gösteriyoruz. Yani k = 3/8.
Adım 2: Kontrol Edelim
Acaba diğer satırlar için de oran aynı mı? Başka bir satır seçelim, mesela a=15 ve b=40.
a / b = 15 / 40
Her iki tarafı da 5’e bölelim: 15 ÷ 5 = 3 ve 40 ÷ 5 = 8. Sonuç yine 3/8! Demek ki doğru yoldayız.
Negatif sayılarla da deneyelim: a=-9 ve b=-24.
a / b = -9 / -24
Eksinin eksiye bölümü artıdır. Yani 9/24. Her iki tarafı 3’e bölersek yine 3/8 buluruz.
Sonuç ve Yorum:
Orantı sabiti k = 3/8‘dir. Bu şu anlama gelir: a’nın değeri, her zaman b’nin değerinin 3/8’i kadardır. Veya başka bir deyişle, her 3 birimlik ‘a’ değeri için 8 birimlik ‘b’ değeri vardır.
Soru 7: u/11 = v/7 orantısı veriliyor. u + v = 144 ise u ve v değerlerini bulunuz.
Bu tür soruları çözmenin çok pratik bir yolu var. Yine ‘k’ sabitini kullanacağız.
Adım 1: Değişkenleri ‘k’ Cinsinden Yazalım
u/11 = v/7 = k diyelim. Buradan şunları yazabiliriz:
- u = 11k (u’nun altında 11 olduğu için)
- v = 7k (v’nin altında 7 olduğu için)
Adım 2: Toplam Denkleminde Yerine Koyalım
Bize u + v = 144 olduğu verilmiş. Şimdi u ve v yerine bulduğumuz ‘k’lı ifadeleri yazalım.
11k + 7k = 144
18k = 144
Adım 3: ‘k’ Değerini Bulalım
‘k’yı bulmak için 144’ü 18’e bölmemiz gerekiyor.
k = 144 / 18
k = 8
Adım 4: u ve v Değerlerini Bulalım
Artık ‘k’yı bildiğimize göre u ve v’yi kolayca bulabiliriz.
- u = 11k = 11 * 8 = 88
- v = 7k = 7 * 8 = 56
Sonuç:
İstenen değerler u = 88 ve v = 56‘dır. Sağlamasını yapalım: 88 + 56 = 144. Sonucumuz doğru!
Soru 8: m/2 = n/3 orantısına göre (n-m)/(n+2m) ifadesinin değeri kaçtır?
İşte son sorumuz! Bu da bir önceki soruya çok benziyor. Yine ‘k’ sabitinden yardım alacağız.
Adım 1: m ve n’yi ‘k’ Cinsinden Yazalım
m/2 = n/3 orantısına yine eşittir ‘k’ diyelim.
- m = 2k
- n = 3k
Adım 2: İstenen İfadede Yerlerine Yazalım
Şimdi (n-m)/(n+2m) ifadesinde m ve n gördüğümüz yerlere ‘k’lı karşılıklarını yazalım.
Pay (üst kısım): n – m = 3k – 2k = k
Payda (alt kısım): n + 2m = 3k + 2*(2k) = 3k + 4k = 7k
Adım 3: İfadeyi Sadeleştirelim
İfademiz şuna dönüştü:
k / 7k
Burada hem payda hem de paydada bulunan ‘k’lar birbirini götürür (sadeleşir).
Sonuç:
İfadenin değeri 1/7‘dir. Gördüğün gibi ‘k’ sabitini bilmemize bile gerek kalmadı! Süpersin!
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, pratik yapmak seni daha da hızlandıracaktır. Başarılar dilerim!