Merhaba sevgili öğrencim,
Harika sorularla karşı karşıyayız! Matematik aslında bir bulmaca çözmek gibidir, adımları doğru takip ettiğimizde sonuca ulaşmak çok keyifli olur. Gel, şimdi bu soruları birlikte, adım adım çözelim. Anlamadığın bir yer olursa hiç çekinme, tekrar üzerinden geçeriz.
Soru 10: Aşağıdaki şemalarda belirtilen işlemleri yaparak boş kutucuklara uygun rasyonel sayıları yazınız.
a)
Çözüm:
Bu şemada okları takip ederek işlemleri yapacağız. Önce toplama, sonra çıkarma işlemi var.
Adım 1: İlk olarak (-1 tam 1/5) ile (4/15) sayılarını toplamamız isteniyor. Toplama yapabilmek için önce tam sayılı kesri bileşik kesre çevirelim ve paydaları eşitleyelim.
- -1 tam 1/5 = -( (1*5)+1 ) / 5 = -6/5
- Şimdi paydaları 15’te eşitleyelim. -6/5 kesrini 3 ile genişletmemiz gerekiyor.
- (-6 * 3) / (5 * 3) = -18/15
- Şimdi toplayabiliriz: (-18/15) + (4/15) = (-18+4)/15 = -14/15. İlk boş kutucuğun cevabı bu.
Adım 2: Şimdi bulduğumuz sonuçtan, yani (-14/15)’ten (7/30)’u çıkarmamız isteniyor. Yine paydaları eşitlememiz lazım. Bu sefer 30’da eşitleyebiliriz.
- -14/15 kesrini 2 ile genişletelim: (-14 * 2) / (15 * 2) = -28/30
- Şimdi çıkarma işlemini yapalım: (-28/30) – (7/30) = (-28-7)/30 = -35/30
- Bu kesri sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı da 5’e bölelim.
Sonuç: -7/6
b)
Çözüm:
Burada da önce toplama, sonra bölme işlemi yapacağız.
Adım 1: (-13/4) ile (2 tam 1/8) sayılarını toplayalım. Yine tam sayılı kesri bileşik kesre çevirerek başlayalım.
- 2 tam 1/8 = ( (2*8)+1 ) / 8 = 17/8
- Şimdi paydaları 8’de eşitleyelim. -13/4 kesrini 2 ile genişletelim.
- (-13 * 2) / (4 * 2) = -26/8
- Toplama işlemini yapalım: (-26/8) + (17/8) = (-26+17)/8 = -9/8. İlk boş kutucuk tamam!
Adım 2: Bulduğumuz sonucu, yani (-9/8)’i (1/16)’ya bölmemiz gerekiyor. Unutma, kesirlerde bölme yaparken ikinci kesri ters çevirip çarparız.
- (-9/8) ÷ (1/16) = (-9/8) * (16/1)
- Çarpma yapmadan önce sadeleştirme yapabiliriz. 16’yı 8’e bölersek 2, 8’i 8’e bölersek 1 kalır.
- (-9/1) * (2/1) = -18
Sonuç: -18
c)
Çözüm:
Bu şemada ise önce çıkarma, sonra çarpma işlemi var.
Adım 1: (-11/5) sayısından (-13/10) sayısını çıkaracağız. İki eksi yan yana gelince artı olur, unutma!
- (-11/5) – (-13/10) = (-11/5) + (13/10)
- Paydaları 10’da eşitleyelim. -11/5 kesrini 2 ile genişletiyoruz.
- (-22/10) + (13/10) = (-22+13)/10 = -9/10. Harika, ilk kutuyu bulduk.
Adım 2: Şimdi bulduğumuz (-9/10) sonucu ile (10/7) sayısını çarpacağız.
- (-9/10) * (10/7)
- Burada çapraz sadeleştirme yapabiliriz. Paydaki 10 ile paydadaki 10 birbirini götürür.
- Geriye (-9/1) * (1/7) kalır.
- Bu da -9/7’ye eşittir.
Sonuç: -9/7
Soru 11: Bir rasyonel sayının -3/5 katının -61/55 eksiği 1’dir. Buna göre rasyonel sayıyı bulunuz.
Çözüm:
Bu tür sorularda bilinmeyen sayımıza “x” diyelim ve denklemi adım adım kuralım.
Adım 1: “Bir rasyonel sayının (x’in) -3/5 katı” demek, x * (-3/5) demektir. Bu da -3x/5 olur.
Adım 2: Bu ifadenin “-61/55 eksiği” diyor. Yani bulduğumuz ifadeden -61/55’i çıkaracağız: (-3x/5) – (-61/55). İki eksi yan yana gelince artı olur: (-3x/5) + (61/55).
Adım 3: Bu işlemin sonucu 1’e eşitmiş. Denklemimiz hazır: -3x/5 + 61/55 = 1.
Adım 4: Şimdi denklemi çözelim. Bilinmeyeni yalnız bırakmak için 61/55’i eşitliğin diğer tarafına atalım. İşareti değişir.
- -3x/5 = 1 – 61/55
- Sağ taraftaki işlemi yapmak için 1’in paydasını 55 yapalım: 55/55.
- -3x/5 = 55/55 – 61/55
- -3x/5 = -6/55
Adım 5: x’i bulmak için her iki tarafı x’in katsayısı olan -3/5’e bölebiliriz ya da içler-dışlar çarpımı yapabiliriz. İkincisi daha kolay olabilir.
- (-3x) * 55 = 5 * (-6)
- -165x = -30
- x’i bulmak için her iki tarafı -165’e bölelim.
- x = -30 / -165 (Eksinin eksiye bölümü artıdır)
- x = 30 / 165
- Şimdi sadeleştirelim. Her iki tarafı da 15’e bölebiliriz. 30/15=2, 165/15=11.
Sonuç: 2/11
Soru 12: (-1 tam 3/5) ÷ (0,2) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu işlemde hem tam sayılı kesir hem de ondalık sayı var. Hepsini rasyonel sayıya (a/b şeklinde) çevirirsek işimiz kolaylaşır.
Adım 1: -1 tam 3/5’i bileşik kesre çevirelim.
- – ( (1*5)+3 ) / 5 = -8/5
Adım 2: 0,2 ondalık sayısını kesre çevirelim.
- 0,2 = 2/10. Sadeleştirirsek 1/5 olur.
Adım 3: Şimdi bölme işlemini yapalım. Unutma, ikinci kesri ters çevirip çarpıyoruz.
- (-8/5) ÷ (1/5) = (-8/5) * (5/1)
- Paydaki 5 ile paydadaki 5 sadeleşir.
- (-8/1) * (1/1) = -8
Sonuç: -8 (Yani D şıkkı)
Soru 13: 2 – ( 1 / (1 – (1 / (1 + 1/2))) ) işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu tür merdivenli işlemlerde en alttan başlayarak yukarı doğru adım adım ilerleriz.
Adım 1: En alttaki işlemi yapalım: 1 + 1/2
- 1’i 2/2 olarak yazarsak: 2/2 + 1/2 = 3/2
Adım 2: İşlemimiz şimdi şu hale geldi: 1 / (3/2). Bir sayıyı bir kesre bölmek, o sayıyı kesrin tersiyle çarpmaktır.
- 1 * (2/3) = 2/3
Adım 3: Bir üst basamağa çıkalım: 1 – (bulduğumuz sonuç)
- 1 – 2/3 = 3/3 – 2/3 = 1/3
Adım 4: Şimdi işlemimiz 1 / (1/3) haline geldi.
- 1 * (3/1) = 3
Adım 5: En son adıma geldik: 2 – (bulduğumuz sonuç)
- 2 – 3 = -1
Sonuç: -1
Not: Görseldeki sorunun yazılışında bir hata olabilir. Genellikle bu tip sorularda sonuç daha farklı çıkar. Eğer soru 2 – ( 1 / (1 – (1 / (1 + 1/2))) ) şeklinde değil de, 2 – ( 1 / (1 + (1 / (1 – 1/2))) ) gibi farklı bir yapıda ise sonuç değişir. Ancak görseldeki haliyle çözüm budur.
Soru 14: (1 + 1/2) * (1 + 1/3) * (1 + 1/4) * … * (1 + 1/13) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Bu tür ardışık çarpma işlemlerinde genellikle birbiriyle sadeleşen sayılar olur. Önce parantez içlerini düzenleyelim ve bu sadeleşmeyi bulmaya çalışalım.
Adım 1: Parantez içlerindeki toplamaları yapalım.
- (1 + 1/2) = (2/2 + 1/2) = 3/2
- (1 + 1/3) = (3/3 + 1/3) = 4/3
- (1 + 1/4) = (4/4 + 1/4) = 5/4
- …
- (1 + 1/13) = (13/13 + 1/13) = 14/13
Adım 2: Şimdi işlemi bu halleriyle tekrar yazalım.
- (3/2) * (4/3) * (5/4) * … * (14/13)
Adım 3: Sadeleşme düzenini fark ettin mi? Birinci kesrin payı (3), ikinci kesrin paydasıyla (3) aynı. İkinci kesrin payı (4), üçüncü kesrin paydasıyla (4) aynı. Bu şekilde çapraz olarak sayılar birbirini götürüyor!
- (
3/2) * (4/3) * (5/4) * … * (14/13) - Bu sadeleşme devam ettiğinde, en başta paydada sadece 2 kalır ve en sonda pay kısmında sadece 14 kalır.
Adım 4: Kalan sayıları yazıp işlemi tamamlayalım.
- 14 / 2 = 7
Sonuç: 7 (Yani A şıkkı)
Soru 15: (-3/2)² ÷ (-5/2)² + [2 – (-1/5)²] işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
İşlem önceliğini hatırlayalım: Önce üslü ifadeler ve parantez içi, sonra çarpma/bölme, en son toplama/çıkarma.
Adım 1: Üslü ifadelerin değerini bulalım. Unutma, negatif bir sayının çift kuvveti pozitiftir.
- (-3/2)² = (-3/2) * (-3/2) = 9/4
- (-5/2)² = (-5/2) * (-5/2) = 25/4
- (-1/5)² = (-1/5) * (-1/5) = 1/25
Adım 2: Şimdi bu değerleri işlemde yerlerine yazalım.
- (9/4) ÷ (25/4) + [2 – 1/25]
Adım 3: Köşeli parantezin içini yapalım.
- 2 – 1/25 = 50/25 – 1/25 = 49/25
Adım 4: İşlemimiz şu hale geldi: (9/4) ÷ (25/4) + 49/25. İşlem önceliği bölmede!
- (9/4) ÷ (25/4) = (9/4) * (4/25) (İkinciyi ters çevirip çarptık)
- Çaprazdaki 4’ler sadeleşir. Sonuç 9/25 olur.
Adım 5: Son olarak toplama işlemini yapalım.
- 9/25 + 49/25 = (9+49)/25 = 58/25
Sonuç: 58/25
Soru 16: Nurhan Hanım, aldığı pirincin ilk ay 5/12’sini, ikinci ay 1/3’ünü, üçüncü ay ise 1/4’ünü pilav yapmak için kullanıyor. Nurhan Hanım’ın birinci ve ikinci ayda kullandığı toplam pirinç miktarı, üçüncü ayda kullandığı pirinç miktarından 12 kg fazla olduğuna göre Nurhan Hanım kaç kg pirinç almıştır?
Çözüm:
Bu problemi de denklem kurarak kolayca çözebiliriz. Toplam pirinç miktarına “x” diyelim.
Adım 1: Verilen bilgileri denkleme dökelim.
“Birinci ve ikinci ayda kullandığı toplam pirinç” = (İlk ay) + (İkinci ay)
= (5/12)x + (1/3)x
“Üçüncü ayda kullandığı pirinçten 12 kg fazla” = (Üçüncü ay) + 12
= (1/4)x + 12
Bu iki ifade birbirine eşitmiş. İşte denklemimiz:
(5/12)x + (1/3)x = (1/4)x + 12
Adım 2: Denklemi çözmek için önce paydaları eşitleyelim. 12, 3 ve 4’ün ortak katı 12’dir.
- 1/3 kesrini 4 ile, 1/4 kesrini 3 ile genişletelim.
- (5/12)x + (4/12)x = (3/12)x + 12
Adım 3: Sol taraftaki x’li terimleri toplayalım.
- (9/12)x = (3/12)x + 12
Adım 4: x’li terimleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım. (3/12)x’i sol tarafa atalım (işareti değişir).
- (9/12)x – (3/12)x = 12
- (6/12)x = 12
Adım 5: 6/12 kesrini sadeleştirelim. Bu 1/2 demektir.
- (1/2)x = 12
- Yani bir şeyin yarısı 12 ise, tamamı kaçtır? 12’yi 2 ile çarparız.
- x = 12 * 2 = 24
Sonuç: Nurhan Hanım toplam 24 kg pirinç almıştır.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Matematikte pratik yapmak çok önemlidir, ne kadar çok soru çözersen o kadar hızlanır ve konuları daha iyi anlarsın. Başarılar dilerim