Harika bir çalışma! Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 7. Sınıf Matematik Öğretmeniniz. Bana gönderdiğiniz bu “Alıştırmalar” sayfasındaki soruları sizin için adım adım, tane tane çözeceğim. Matematik, adımları doğru takip ettiğimizde aslında ne kadar kolay ve zevkli, hep birlikte göreceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Soru 1. Mehtap, tahtadaki çok adımlı işlemler içeren soruyu çözerken aşağıdaki işlemleri yaptı.6 / (2 + 1 / (1 - 1/2)) = 6 / (2 + 1 / (▲/2)) = 6 / (2 + ■) = ★ = ●
İşlemlerdeki sembollerin yerine yazılması gereken sayıları bulunuz.
Bu soruda Mehtap’ın çözüm adımlarını takip ederek sembollerin yerine hangi sayıların gelmesi gerektiğini bulacağız. Bu tür çok katlı kesirlerde işlem yapmaya her zaman en alttan başlarız. Unutmayın, en alttaki işlemi çözmeden yukarıya çıkamayız!
Adım 1: Üçgeni (▲) Bulalım
İlk adımda en alttaki
1 - 1/2işlemi yapılmış. Bu işlemin sonucu▲/2olarak gösterilmiş.1 - 1/2 = 2/2 - 1/2 = 1/2
İşlemin sonucu1/2olduğuna göre ve bu sonuç▲/2‘ye eşit olduğuna göre, paydaki üçgenin değeri 1 olmalıdır.
▲ = 1Adım 2: Kareyi (■) Bulalım
Bir sonraki adımda işlem
2 + 1 / (▲/2)iken2 + ■haline gelmiş. Yani kare,1 / (▲/2)işleminin sonucudur. Üçgeni 1 bulmuştuk.1 / (1/2)işlemini yapmalıyız. Bir sayıyı kesre bölerken, o sayıyı kesrin çarpmaya göre tersiyle (yani pay ve paydasını yer değiştirerek) çarparız.1 ÷ (1/2) = 1 * (2/1) = 2
Demek ki karenin değeri 2 imiş.
■ = 2Adım 3: Yıldızı (★) Bulalım
Şimdi işlemimiz
6 / (2 + ■)haline geldi. Bu işlemin sonucu da yıldıza eşit. Kareyi 2 bulmuştuk, yerine yazalım.6 / (2 + 2) = 6 / 4
Bu kesri sadeleştirebiliriz. Payı ve paydayı 2’ye bölelim.6/4 = 3/2
Yıldızın değeri 3/2‘dir.
★ = 3/2Adım 4: Siyah Daireyi (●) Bulalım
Yıldız (★) işlemin sonucuna, yani siyah daireye (●) eşittir. Bu yüzden siyah dairenin değeri de 3/2‘dir.
● = 3/2Sonuç olarak: ▲ = 1, ■ = 2, ★ = 3/2, ● = 3/2
Soru 2.1 / (4 - (1/3) / (2 - (-1/2))) işleminin sonucunu bulunuz.
Yine çok adımlı bir işlemle karşı karşıyayız. Kuralımız neydi? En içten, en alttan başlamak! Sakin sakin adımları takip edelim.
Adım 1: En alttaki parantez içini yapalım.
2 - (-1/2)işlemiyle başlıyoruz. İki eksi yan yana gelince ne oluyordu? Tabii ki artı!2 + 1/2 = 4/2 + 1/2 = 5/2Adım 2: Şimdi bir üstteki bölme işlemini yapalım.
İşlemimiz
(1/3) / (5/2)haline geldi. Rasyonel sayılarda bölme, birinciyi aynen yazıp ikinciyi ters çevirip çarpmaktır.(1/3) * (2/5) = 2/15Adım 3: Ana kesir çizgisinin altındaki çıkarma işlemini yapalım.
İşlemimiz şimdi
4 - (2/15)oldu. Paydaları eşitleyelim.(4 * 15)/15 - 2/15 = 60/15 - 2/15 = 58/15Adım 4: Son adıma geldik!
Sorumuz en son
1 / (58/15)halini aldı. Bu da 1’i 58/15’e bölmek demektir. Yani 58/15’in çarpmaya göre tersini alacağız.1 * (15/58) = 15/58Sonuç: 15/58
Soru 3.(1 + 1/3) / (1 - 1/2) + 1/3 ÷ 1/2 işleminin sonucunu bulunuz.
Bu soruda işlem önceliği kuralını hatırlamalıyız. Önce parantez içleri ve bölme işlemleri, en son toplama yapılır.
Adım 1: Soldaki kesrin pay ve paydasını hesaplayalım.
Pay:
1 + 1/3 = 3/3 + 1/3 = 4/3
Payda:1 - 1/2 = 2/2 - 1/2 = 1/2
İşlemimiz şimdi(4/3) / (1/2)oldu. Bunu çözelim.(4/3) * (2/1) = 8/3Adım 2: Sağdaki bölme işlemini yapalım.
1/3 ÷ 1/2 = 1/3 * 2/1 = 2/3Adım 3: Bulduğumuz sonuçları toplayalım.
İşlemimiz
8/3 + 2/3haline geldi. Paydalar zaten eşit, ne güzel! Sadece payları topluyoruz.(8 + 2) / 3 = 10/3Sonuç: 10/3
Soru 4.1 / (1 - 1 / (1 - 1/3)) işleminin sonucunu bulunuz.
Yine merdivenli bir işlem. En alttan başlayıp basamakları birer birer çıkacağız.
Adım 1: En alttaki işlemi yapalım.
1 - 1/3 = 3/3 - 1/3 = 2/3Adım 2: Bir üst basamağa çıkalım.
İşlem
1 / (2/3)halini aldı. Yani 2/3’ü ters çeviriyoruz.1 * (3/2) = 3/2Adım 3: Ana kesrin paydasını hesaplayalım.
Şimdi işlemimiz
1 - 3/2oldu. Payda eşitleyelim.2/2 - 3/2 = -1/2Adım 4: Son bölme işlemi.
Soru en son
1 / (-1/2)şekline geldi. Ters çevirip çarpalım.1 * (-2/1) = -2Sonuç: -2
Soru 5.(1 - 1/5) * (1 - 2/5) * (1 - 3/5) * ... * (1 - 13/5) işleminin sonucunu bulunuz.
Bu soruda bir sürü çarpma işlemi var. Hepsini tek tek yapmaya kalkarsak çok uzun sürer. Bu tür sorularda genellikle bir püf noktası olur. Hadi o noktayı arayalım! Parantezlerin içini sırayla düşünelim.
Adım 1: Parantezleri inceleyelim.
1 - 1/5 = 4/51 - 2/5 = 3/51 - 3/5 = 2/51 - 4/5 = 1/51 - 5/5 = 1 - 1 = 01 - 6/5 = -1/5- …
Adım 2: Püf noktasını bulduk!
Gördünüz mü? Aradaki terimlerden bir tanesi
(1 - 5/5)ve bu işlemin sonucu 0 (sıfır)!
Çarpma işleminde çarpanlardan bir tanesi bile sıfır ise sonuç ne olurdu? Tabii ki kocaman bir sıfır! Diğer işlemleri yapmamıza hiç gerek kalmadı.Sonuç: 0
Soru 6.(-2/5)³ ÷ (-3/5)² + [2 - (-1/3)²] işleminin sonucunu bulunuz.
İşlem önceliği burada çok önemli! Sıramız: 1. Üslü ifadeler ve parantez içi, 2. Bölme, 3. Toplama.
Adım 1: Üslü ifadeleri ve köşeli parantezin içini halledelim.
(-2/5)³ = (-2)³ / 5³ = -8 / 125(Unutma, negatif sayının tek kuvveti negatiftir.)(-3/5)² = (-3)² / 5² = 9 / 25(Negatif sayının çift kuvveti pozitiftir.)(-1/3)² = (-1)² / 3² = 1/9Şimdi köşeli parantezin içini yapalım:
[2 - 1/9] = [18/9 - 1/9] = 17/9Adım 2: Bölme işlemini yapalım.
İşlemimiz
(-8/125) ÷ (9/25) + (17/9)haline geldi. Önce bölmeyi yapıyoruz.(-8/125) * (25/9)
Çarpmadan önce sadeleştirme yaparsak işimiz kolaylaşır. 125’i 25’e bölersek 5 kalır.(-8/5) * (1/9) = -8/45Adım 3: Son olarak toplama işlemini yapalım.
-8/45 + 17/9
Paydaları eşitlememiz lazım. 9’u 5 ile çarparsak 45 olur.-8/45 + (17*5)/(9*5) = -8/45 + 85/45(-8 + 85) / 45 = 77/45Sonuç: 77/45
Soru 7.(1/3 + 1/2) / (1/6)² + Δ = 28 ise Δ yerine kaç yazılmalıdır?
Bu bir denklem sorusu. Önce Δ’nın yanındaki karmaşık işlemin sonucunu bulalım, sonra denklemimizi çözelim.
Adım 1: Karmaşık olan sol tarafı çözelim.
Önce parantez içi:
1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6
Sonra üslü ifade:(1/6)² = 1²/6² = 1/36
Şimdi bölme:(5/6) ÷ (1/36) = (5/6) * (36/1)
Sadeleştirme yapalım. 36’yı 6’ya bölersek 6 kalır.5 * 6 = 30Adım 2: Denklemi yeniden yazıp çözelim.
İşlemin sonucunu 30 bulduk. Denklemimiz şu hale geldi:
30 + Δ = 28
“30’a kaç eklersem 28 olur?” diye düşünüyoruz. Cevabı bulmak için 28’den 30’u çıkarırız.Δ = 28 - 30 = -2Sonuç: Δ = -2
Soru 8.■ = -1/7 ise ■² - ■³ işleminin sonucunu bulunuz.
Bu soruda sadece ■ gördüğümüz yere -1/7 yazacağız ve işlemi yapacağız.
Adım 1: Kare ve küp değerlerini ayrı ayrı hesaplayalım.
■² = (-1/7)² = (-1)² / 7² = 1/49(Çift kuvvet pozitif yaptı!)■³ = (-1/7)³ = (-1)³ / 7³ = -1/343(Tek kuvvet negatif olarak bıraktı!)Adım 2: Bulduğumuz değerleri işlemde yerine yazalım.
İşlemimiz:
(1/49) - (-1/343)
İki eksi yan yana gelince artı olur!1/49 + 1/343Adım 3: Toplama işlemini yapalım.
Paydaları eşitlememiz gerekiyor. 49’u 7 ile çarparsak 343 eder.
(1*7)/(49*7) + 1/343 = 7/343 + 1/343(7 + 1) / 343 = 8/343Sonuç: 8/343
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutmayın, matematikte başarılı olmanın sırrı bol bol pratik yapmak ve adımları sabırla takip etmektir. Anlamadığınız bir yer olursa çekinmeden sorun. Başarılar dilerim!