Merhaba sevgili öğrencilerim, ben 7. sınıf matematik öğretmeniniz. Bugün birlikte, gönderdiğiniz görseldeki rasyonel sayılarla çok adımlı işlemleri ve üslü ifadeleri adım adım, kolayca anlayacağınız bir şekilde çözeceğiz. Unutmayın, matematiğin sırrı doğru adımları sırasıyla takip etmektir. Haydi başlayalım!
Soru 1: Öğretmeni, tahtaya bir soru yazıp Cenk’ten bu soruyu çözmesini istedi. Cenk’in soruyu çözebilmesi için ilk önce hangi işlemi yapması gerekir? Sebebini açıklayınız. İşlemdeki (3/8)2 ifadesinin değeri nasıl bulunabilir?
Tahtadaki işlem: 1/2 + 1/4 ÷ (3/8)2
Merhaba çocuklar, bu soruyu çözmek için “İşlem Önceliği” kuralını hatırlamamız gerekiyor. Bu kural, matematikte işlemlerin hangi sırayla yapılacağını belirten sihirli bir anahtar gibidir. Kuralımız şöyleydi:
- Üslü İfadeler
- Parantezli İşlemler
- Çarpma ve Bölme İşlemleri (Eğer ikisi de varsa soldan sağa doğru yapılır)
- Toplama ve Çıkarma İşlemleri (Eğer ikisi de varsa soldan sağa doğru yapılır)
Şimdi bu kuralı Cenk’in sorusuna uygulayalım.
a) Cenk’in ilk önce hangi işlemi yapması gerekir?
Adım 1: İşlemimize bakıyoruz: 1/2 + 1/4 ÷ (3/8)2. Bu işlemde toplama, bölme ve üslü ifade var.
Adım 2: İşlem önceliği kuralımıza göre, en yüksek öncelik üslü ifadelerdedir. Bu yüzden Cenk’in ilk olarak (3/8)2 ifadesinin değerini bulması gerekir.
Sonuç: Cenk, ilk olarak üslü ifadenin değerini hesaplamalıdır. Çünkü işlem önceliği sırasında üslü ifadeler; toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeden önce gelir.
b) (3/8)2 ifadesinin değeri nasıl bulunur?
Adım 1: Bir rasyonel sayının karesini (yani 2. kuvvetini) almak demek, o sayıyı kendisiyle bir kez çarpmak demektir.
Adım 2: Yani, (3/8)2 = (3/8) x (3/8) işlemini yapmalıyız.
Adım 3: Rasyonel sayılarla çarpma yaparken payları kendi arasında, paydaları da kendi arasında çarparız.
- Payların çarpımı: 3 x 3 = 9
- Paydaların çarpımı: 8 x 8 = 64
Sonuç: Bu durumda, (3/8)2 ifadesinin değeri 9/64 olarak bulunur.
Soru 2: 1 – (1 + 1/2) ∙ (2 – 1 ÷ 1/3) işleminin sonucunu bulalım.
Bu soruda hem parantezler hem de farklı işlemler bir arada. Sakin olup adım adım ilerleyelim.
Adım 1: İşlem önceliği kuralına göre önce parantez içlerini yapmalıyız. İki tane parantezimiz var: (1 + 1/2) ve (2 – 1 ÷ 1/3). Bunları ayrı ayrı çözelim.
Adım 2: İlk parantezi, yani (1 + 1/2)‘yi hesaplayalım. Toplama yapmak için paydaları eşitlememiz gerekir. 1’in altında gizli bir 1 vardır, yani 1/1’dir. Paydasını 2 yapmak için 2 ile genişletiriz.
(2/2) + (1/2) = 3/2. İlk parantezin sonucu 3/2‘dir.
Adım 3: Şimdi ikinci paranteze, (2 – 1 ÷ 1/3)‘e odaklanalım. Bu parantezin içinde hem çıkarma hem de bölme var. İşlem önceliğine göre bölme, çıkarmadan önce yapılır!
Önce bölmeyi yapalım: 1 ÷ 1/3. Rasyonel sayılarla bölme yaparken, birinci sayıyı aynen yazar, ikinci sayıyı ters çevirip çarparız.
1 x (3/1) = 3. Bölme işleminin sonucu 3’tür.
Şimdi parantezimiz şu hale geldi: (2 – 3). Bu işlemin sonucu da -1‘dir. İkinci parantezin sonucu -1‘dir.
Adım 4: Artık parantezlerin sonuçlarını bulduğumuza göre, işlemde yerlerine yazalım. İşlemimiz şu şekli aldı:
1 – (3/2) ∙ (-1)
Adım 5: Yeni işlemimizde çıkarma ve çarpma var. Öncelik çarpmadadır.
(3/2) ∙ (-1) = -3/2
Adım 6: Son olarak bulduğumuz sonucu işlemde yerine yazarak sonuca ulaşalım.
1 – (-3/2)
Unutmayın, bir negatif sayıyı çıkarmak, o sayının pozitifini eklemekle aynı şeydir. Yani işlemimiz 1 + 3/2‘ye dönüşür.
Yine paydaları eşitleyelim: (2/2) + (3/2) = 5/2
Sonuç: İşlemin sonucu 5/2‘dir.
Soru 3 (Örnek): [1 + 1 ÷ (1 – 2/3)] ÷ [2 + 1 ÷ (1 + 1/2)] işleminin sonucunu bulunuz.
Bu soru gözünüzü korkutmasın! Sadece daha fazla parantez var. Yine aynı kurallarla, en içteki parantezlerden başlayarak adım adım çözeceğiz.
Adım 1: Soruyu iki büyük parçaya ayıralım. İlk köşeli parantez ve ikinci köşeli parantez. Önce ilk köşeli parantezi, [1 + 1 ÷ (1 – 2/3)]‘i çözelim.
- En içteki parantez (1 – 2/3). Payda eşitlersek (3/3) – (2/3) = 1/3 olur.
- Şimdi köşeli parantezimiz [1 + 1 ÷ 1/3] haline geldi.
- Burada toplama ve bölme var. Önce bölmeyi yaparız: 1 ÷ 1/3 = 1 x (3/1) = 3.
- Son olarak toplama: 1 + 3 = 4.
Yani ilk köşeli parantezin sonucu 4‘tür.
Adım 2: Şimdi ikinci köşeli parantezi, [2 + 1 ÷ (1 + 1/2)]‘yi çözelim.
- En içteki parantez (1 + 1/2). Payda eşitlersek (2/2) + (1/2) = 3/2 olur.
- Şimdi köşeli parantezimiz [2 + 1 ÷ 3/2] haline geldi.
- Önce bölmeyi yaparız: 1 ÷ 3/2 = 1 x (2/3) = 2/3.
- Son olarak toplama: 2 + 2/3. Payda eşitlersek (6/3) + (2/3) = 8/3.
Yani ikinci köşeli parantezin sonucu 8/3‘tür.
Adım 3: Artık bulduğumuz bu iki sonucu kullanarak sonuca ulaşabiliriz. Sorumuz şu hale geldi:
4 ÷ 8/3
Adım 4: Bu bölme işlemini yapalım. Birinci sayıyı aynen yaz, ikinciyi ters çevir çarp.
4 x (3/8) = (4 x 3) / 8 = 12/8
Adım 5: Son olarak bulduğumuz kesri sadeleştirelim. Hem 12 hem de 8, 4’e bölünebilir.
12 ÷ 4 = 3
8 ÷ 4 = 2
Sonuç: İşlemin sonucu 3/2‘dir.
Gördüğünüz gibi, kuralları bildiğimiz ve adımları dikkatlice takip ettiğimiz sürece en karmaşık görünen sorular bile kolayca çözülebilir. Anlamadığınız bir yer olursa sormaktan çekinmeyin. Başarılar dilerim!