Merhaba sevgili öğrencim, gönderdiğin görseldeki matematik sorularını senin için adım adım çözeceğim. Haydi başlayalım! Bu soruları birlikte çözerek hem konuları tekrar etmiş olacağız hem de nasıl düşünmemiz gerektiğini öğreneceğiz.
3. Soru: Bir yolun kenarı uzunlukları metre cinsinden doğal sayı olan dikdörtgen biçimindeki bir kısmı hasar görmüştür. Bu hasar görmüş kısmın etrafına bir sıra güvenlik şeridi çekilmiştir. Kullanılan güvenlik şeridinin uzunluğu 46 metre olduğuna göre hasar görmüş kısmın alanı en fazla kaç metrekaredir?
Merhaba canım öğrencim, bu soruda bize bir dikdörtgenin çevresini vermiş ve alanının en fazla kaç olabileceğini soruyor. Hadi adım adım gidelim.
Unutma, bir şeklin etrafına çekilen şerit, o şeklin çevresini verir.
Adım 1: Dikdörtgenin Çevresini Anlamak
Güvenlik şeridinin uzunluğu 46 metre ise, bu bizim dikdörtgenimizin çevresidir. Dikdörtgenin çevresi, bütün kenarlarının toplamıdır. Yani, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamı 46 metreymiş.
Adım 2: Bir Uzun ve Bir Kısa Kenarın Toplamını Bulmak
Çevre = 2 x (Uzun Kenar + Kısa Kenar) formülünü hatırlayalım.
Eğer iki uzun ve iki kısa kenarın toplamı 46 metre ise, bir uzun kenar ile bir kısa kenarın toplamı bu sayının yarısıdır.
46 / 2 = 23 metre
Adım 3: Alanı En Fazla Yapacak Kenarları Bulmak
Şimdi yapmamız gereken şey, toplamları 23 olan iki doğal sayı bulmak. Bu sayılar bizim kenar uzunluklarımız olacak. Soruda bizden alanın en fazla olmasını istiyor.
Önemli Bilgi: Toplamları aynı olan iki sayının çarpımının en büyük olabilmesi için bu sayıların birbirine mümkün olan en yakın sayılar olması gerekir.
Toplamları 23 olan ve birbirine en yakın iki doğal sayı hangileridir? Bunlar 11 ve 12‘dir. (11 + 12 = 23)
- Mesela 1 ve 22 seçseydik: Alan = 1 x 22 = 22 m² olurdu.
- 10 ve 13 seçseydik: Alan = 10 x 13 = 130 m² olurdu.
- 11 ve 12 seçersek: Alan = 11 x 12 = 132 m² olurdu.
Gördüğün gibi, sayılar birbirine yaklaştıkça alan büyüyor.
Sonuç:
Hasar görmüş kısmın alanı en fazla 132 metrekare olabilir.
Doğru cevap C) 132‘dir.
4. Soru: Aşağıdaki tabanı dikdörtgen şeklinde olan kapların içi boya doludur. Bu boyaların her biriyle bulundukları kabın taban alanının 15 katı kadar alan boyanabilmektedir. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Bu soruda bize üç farklı boya kabı verilmiş ve her birinin ne kadar alan boyayabildiği ile ilgili bir kural var. Önce her bir kabın ne kadar alan boyayabildiğini hesaplayalım, bu bizim işimizi çok kolaylaştıracak.
Hazırlık Adımı: Kapların Boyayabileceği Alanları Hesaplayalım
- 1. Kap: Tabanı 4 metreye 2 metre.
- Taban Alanı = 4 x 2 = 8 metrekare
- Boyayabileceği Alan = 8 x 15 = 120 metrekare
- 2. Kap: Tabanı 3 metreye 3 metre (yani bir kare).
- Taban Alanı = 3 x 3 = 9 metrekare
- Boyayabileceği Alan = 9 x 15 = 135 metrekare
- 3. Kap: Tabanı 5 metreye 1 metre.
- Taban Alanı = 5 x 1 = 5 metrekare
- Boyayabileceği Alan = 5 x 15 = 75 metrekare
Şimdi bu bilgilere göre soruları cevaplayabiliriz.
a) 120 metrekarelik bir duvarın tamamını tek renge boyamak isteyen Necati, kaç numaralı kapları seçebilir?
Çözüm:
Necati’nin 120 metrekarelik bir duvarı tamamen boyaması gerekiyor. Bu demek oluyor ki seçeceği boya kabının en az 120 metrekarelik alanı boyayabilmesi lazım.
- 1. Kap: 120 metrekare boyayabiliyor. Bu kapla duvarı tam olarak boyayabilir. (Seçebilir)
- 2. Kap: 135 metrekare boyayabiliyor. Bu kapla duvarı boyayabilir, hatta boyası biraz artar bile. (Seçebilir)
- 3. Kap: 75 metrekare boyayabiliyor. Bu boya duvarın tamamını boyamaya yetmez. (Seçemez)
Sonuç:
Necati, 1 numaralı veya 2 numaralı kapları seçebilir.
b) Necati, üç kaptaki boyayı kullanarak en fazla kaç metrekare alan boyayabilir?
Çözüm:
Bu soruda bizden üç kaptaki boyanın tamamıyla ne kadar alan boyanabileceğini bulmamız isteniyor. Yapmamız gereken tek şey, yukarıda hesapladığımız boyanabilir alanları toplamak.
Adım 1: Alanları Toplamak
1. Kap + 2. Kap + 3. Kap = Toplam Alan
120 m² + 135 m² + 75 m² = 330 metrekare
Sonuç:
Necati, üç kaptaki boyayla en fazla 330 metrekare alan boyayabilir.
c) Necati, 3. kaptaki boyanın tamamını kullanarak kenar uzunlukları metre cinsinden doğal sayı olan dikdörtgen biçiminde bir duvarı boyamıştır. Necati’nin boyadığı duvarın çevre uzunluğu en az kaç metredir?
Çözüm:
Bu soru, 3. soruya çok benziyor ama bu sefer tam tersini soruyor. Bize alanı veriyor ve çevrenin en az kaç olabileceğini istiyor.
Adım 1: Boyanacak Alanı Belirlemek
Necati, 3. kaptaki boyanın tamamını kullanıyor. Hazırlık adımında hesaplamıştık: 3. kap ile boyanabilecek alan 75 metrekare. Demek ki duvarımızın alanı 75 metrekareymiş.
Adım 2: Alanı 75 Olan Dikdörtgenin Kenarlarını Bulmak
Şimdi çarpımları 75 olan doğal sayı çiftlerini bulmalıyız. Bunlar duvarın olası kenar uzunluklarıdır.
- 1 metre ve 75 metre
- 3 metre ve 25 metre
- 5 metre ve 15 metre
Adım 3: Çevreyi En Az Yapacak Kenarları Seçmek
Önemli Bilgi: Alanı sabit olan bir dikdörtgenin çevresinin en az olabilmesi için kenar uzunluklarının birbirine mümkün olduğunca yakın olması gerekir.
Şimdi bulduğumuz kenar çiftleri için çevrelerini hesaplayalım. (Çevre = 2 x (kısa kenar + uzun kenar))
- 1 ve 75 için: Çevre = 2 x (1 + 75) = 2 x 76 = 152 metre
- 3 ve 25 için: Çevre = 2 x (3 + 25) = 2 x 28 = 56 metre
- 5 ve 15 için: Çevre = 2 x (5 + 15) = 2 x 20 = 40 metre
Gördüğün gibi, birbirine en yakın sayılar olan 5 ve 15, bize en küçük çevreyi verdi.
Sonuç:
Duvarın çevre uzunluğu en az 40 metredir.
Umarım çözümler anlaşılır olmuştur. Anlamadığın bir yer olursa çekinmeden sorabilirsin. Başarılar dilerim!