Harika bir soru, haydi birlikte bu problemi adım adım çözelim! Bir 5. sınıf öğrencisi olarak bu konuyu ne kadar güzel anladığını görmek beni heyecanlandırıyor.
Problem 5
Alanı 30 m², kenar uzunlukları metre cinsinden doğal sayı olan dikdörtgen şeklinde kaykay pisti yapılacaktır. Pistin çevresi çitlerle çevrilecektir. Çitlerin 1 metresi 1125 TL’dir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Her bir birim karenin bir kenarının uzunluğu 1 metre olan aşağıdaki kareli zemine olabilecek tüm pist modellerini temsilî olarak çiziniz. Bu çizimleri dinamik matematik yazılımında da yapabilirsiniz. Çitlere ait maliyet tablosunu doldurunuz. En uygun maliyetli pisti belirleyiniz.
b) Dikdörtgenin kenar uzunlukları ile çit maliyeti arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız.
a) Şıkkının Çözümü
Merhaba sevgili öğrencim, bu soruyu çözmek için bir dedektif gibi ipuçlarını takip edeceğiz. Hazır mısın?
Adım 1: Olası Dikdörtgenleri Bulalım
Elimizdeki en önemli ipucu, pistin alanının 30 m² olması. Dikdörtgenin alanını nasıl buluyorduk? Tabii ki, kısa kenar ile uzun kenarı çarparak!
Şimdi düşünelim: Hangi iki doğal sayıyı çarparsak 30 elde ederiz? Haydi, 30’un çarpanlarını bulalım.
- 1 x 30 = 30
- 2 x 15 = 30
- 3 x 10 = 30
- 5 x 6 = 30
İşte bu kadar! Yapabileceğimiz pistin kenar uzunlukları bunlar olabilir: 1m’ye 30m, 2m’ye 15m, 3m’ye 10m ve 5m’ye 6m.
Bu dikdörtgenleri kareli zemine çizerken, örneğin 5m’ye 6m’lik pist için 5 kare aşağı, 6 kare sağa giderek bir dikdörtgen oluşturabilirsin.
Adım 2: Çevreyi Hesaplayalım
Pistin etrafını çitle çevireceğimiz için bize her bir dikdörtgenin çevresi lazım. Dikdörtgenin çevresini 2 x (kısa kenar + uzun kenar) formülüyle buluyorduk, değil mi? Harikasın!
- 1 m ve 30 m kenarlar için: Çevre = 2 x (1 + 30) = 2 x 31 = 62 m
- 2 m ve 15 m kenarlar için: Çevre = 2 x (2 + 15) = 2 x 17 = 34 m
- 3 m ve 10 m kenarlar için: Çevre = 2 x (3 + 10) = 2 x 13 = 26 m
- 5 m ve 6 m kenarlar için: Çevre = 2 x (5 + 6) = 2 x 11 = 22 m
Adım 3: Çit Maliyetini Bulalım
Soruda çitin 1 metresinin 1125 TL olduğu söyleniyor. Toplam maliyeti bulmak için bulduğumuz çevre uzunluklarını 1125 ile çarpacağız.
- 62 m çevre için: 62 x 1125 = 69.750 TL
- 34 m çevre için: 34 x 1125 = 38.250 TL
- 26 m çevre için: 26 x 1125 = 29.250 TL
- 22 m çevre için: 22 x 1125 = 24.750 TL
Adım 4: Tabloyu Dolduralım ve En Uygun Pisti Seçelim
Şimdi tüm bu bulduğumuz bilgileri tabloya yerleştirelim.
Kısa Kenar Uzunluğu | Uzun Kenar Uzunluğu | Çevre | Çit Maliyeti
1 m | 30 m | 62 m | 69.750 TL
2 m | 15 m | 34 m | 38.250 TL
3 m | 10 m | 26 m | 29.250 TL
5 m | 6 m | 22 m | 24.750 TL
Tabloya baktığımızda, en uygun maliyetli pistin hangisi olduğunu hemen görebiliriz. En düşük maliyet 24.750 TL. Bu da demek oluyor ki, en uygun maliyetli pist, kenar uzunlukları 5 metre ve 6 metre olan pisttir.
b) Şıkkının Çözümü
Şimdi de kenar uzunlukları ile çit maliyeti arasındaki ilişkiyi yorumlayalım. Aslında cevabı yukarıdaki tabloda gizli!
Adım 1: Tabloyu İnceleyelim
Dikkat ettiysen, alanı aynı (30 m²) olan farklı dikdörtgenler çizdik. Ama çevreleri ve dolayısıyla maliyetleri hep farklı çıktı.
- Kenar uzunlukları 1 m ve 30 m olan pistte, kenarlar arasındaki fark çok fazla. Bu pistin çevresi en uzun (62 m) ve maliyeti en yüksek (69.750 TL) oldu.
- Kenar uzunlukları 5 m ve 6 m olan pistte ise kenarlar birbirine çok yakın. Bu pistin çevresi en kısa (22 m) ve maliyeti en düşük (24.750 TL) oldu.
Adım 2: Sonuca Varalım
Buradan şu sonuca varabiliriz:
Bir dikdörtgenin alanı sabitken, kenar uzunlukları birbirine ne kadar yakınsa, çevresi o kadar küçük olur. Çevre küçüldükçe, etrafına çekilecek çitin uzunluğu da azalır ve bu da çit maliyetini düşürür.
Yani, kenarları birbirine yakın, daha çok kareye benzeyen bir dikdörtgen, kenarları birbirinden çok uzak, ince uzun bir dikdörtgene göre her zaman daha az maliyetli olur.
Umarım her adımı net bir şekilde anlamışsındır. Bu tür problem çözme becerileri, matematikte ne kadar ileri gidebileceğini gösterir. Harika iş çıkardın!