Harika, sevgili öğrencim! 5. Sınıf Matematik dersimize hoş geldin. Bu soruları senin için analiz edip adım adım çözeceğim. Tıpkı sınıfta yaptığımız gibi, her adımı anlayarak ilerleyeceğiz. Hazırsan başlayalım!
Soru 11: Yazılımdaki bu hatayı keşfeden Alper yazılım aracılığıyla bazı açıları ölçmüş ve yazılımdaki hata sebebiyle aşağıdaki değerleri elde etmiştir.
30°, 150°, 90°, 87°, 135°, 105°, 63°, 75°, 100°
a) Alper, ölçülen açılardan hangisinin veya hangilerinin gerçek değerini bulabilir?
Bu soru biraz dedektiflik gibi, değil mi? Yazılımda bir hata var ve biz bu hataya rağmen hangi ölçümün kesinlikle doğru olduğunu bulmaya çalışacağız.
Adım 1: Hatayı Anlamaya Çalışalım
Soruda hatanın ne olduğu söylenmemiş ama sayılara bakınca bir ipucu yakalayabiliriz. Örneğin, 30° ve 150° var. Bu iki sayının toplamı ne yapıyor? 180°. Peki 105° ve 75°? Onların toplamı da 180°. Yazılım, bir açıyı ölçerken onu bütünler açısıyla (yani toplamları 180° olan diğer açıyla) karıştırıyor olabilir.
Adım 2: Özel Durumu Bulalım
Eğer yazılım bir açıyı bütünleriyle karıştırıyorsa, hangi açının değeri hiç değişmez? Yani, hangi açının kendisi ile bütünleri birbirine eşittir? Bu sorunun cevabı bizi doğru sonuca götürecek.
Adım 3: Çözüme Ulaşalım
Bir açının kendisiyle bütünlerinin eşit olması için o açının 90° olması gerekir. Çünkü 180° – 90° = 90°’dir. Yani, yazılım bir dik açıyı ölçtüğünde, onu bütünleriyle karıştırsa bile sonuç yine 90° çıkacaktır. Diğer tüm açılarda ise gerçek değerin ne olduğundan emin olamayız. Örneğin ölçülen 30°, gerçekte 30° mu yoksa 150° miydi, bilemeyiz.
Sonuç:
Alper, sadece 90°‘lik ölçümün gerçek değerinden emin olabilir.
b) Bu hatalı yazılım bir açının değerini 10° olarak ölçebilir mi?
Adım 1: Hatayı Hatırlayalım
Yazılımın bir açıyı bütünleriyle karıştırdığını düşünmüştük. Yani, gerçek açı x ise, yazılım ya x ya da 180-x sonucunu veriyor.
Adım 2: Olasılıkları Değerlendirelim
Yazılımın 10° sonucunu vermesi için iki ihtimal vardır:
- Gerçek açı 10°’dir ve yazılım doğru ölçmüştür.
- Gerçek açı 170°’dir (yani 180°-10°) ve yazılım onu bütünleriyle karıştırıp 10° olarak ölçmüştür.
Her iki durumda da yazılımın ekranında 10° değerini görmek mümkündür.
Sonuç:
Evet, bu hatalı yazılım bir açının değerini 10° olarak ölçebilir.
Soru 12: Üç arkadaş arasında geçen dar açılı üçgenler ile ilgili diyalog aşağıda verilmiştir.
Hakan: Bir üçgenin bir iç açısı dar açıysa o üçgen dar açılı üçgendir.
Selvi: Hayır Hakan, bir açısının dar açı olduğunu bilmek yeterli değildir. Bir üçgene dar açılı üçgen demek için üç iç açı ölçüsünün de verilmesi gerekir.
Anka: Evet Selvi haklısın. Bir iç açıyı bilmek yetmez fakat üç iç açı ölçüsünün de verilmesine gerek yoktur. Eğer iki iç açı ölçüsünü biliyorsak üçgenin iç açıları ölçüleri toplamı 180° olduğu için üçüncü açıyı da biz bulabiliriz ve üçgenin dar açılı üçgen olup olmadığını anlayabiliriz.
a) Verilen diyaloğu inceleyiniz ve hangi çocuğun haklı olduğuna karar veriniz.
Hadi arkadaşlarımızın fikirlerini tek tek inceleyelim.
Adım 1: Hakan’ı Değerlendirelim
Hakan, “bir açısı dar ise üçgen dar açılıdır” diyor. Düşünelim… Açıları 90°, 45°, 45° olan bir dik üçgenin iki tane dar açısı var ama bu üçgen bir dik üçgendir. Ya da açıları 110°, 40°, 30° olan bir geniş açılı üçgenin de iki tane dar açısı var ama bu üçgen bir geniş açılı üçgendir. Demek ki Hakan’ın söylediği doğru değil. Bir üçgenin dar açılı olması için tüm açılarının dar açı (90°’den küçük) olması gerekir. Bu yüzden Hakan haksız.
Adım 2: Selvi’yi Değerlendirelim
Selvi, “üç iç açı ölçüsünün de verilmesi gerekir” diyor. Bu fikir Hakan’ınkine göre daha doğru ama tam olarak değil. Çünkü üçgenin iç açıları toplamının 180° olduğunu biliyoruz. Bu bilgiyi kullanarak, eğer iki açıyı bilirsek üçüncüyü kendimiz bulabiliriz. Yani üç açının da bize hazır verilmesi şart değil. Bu yüzden Selvi de tam olarak haklı sayılmaz.
Adım 3: Anka’yı Değerlendirelim
Anka, “iki iç açı ölçüsünü biliyorsak üçüncü açıyı biz bulabiliriz” diyor. Bu kesinlikle doğru! Örneğin bir üçgenin iki açısı 70° ve 60° olsun. Üçüncü açıyı bulmak için 70 ile 60’ı toplar (130°), sonra da 180’den çıkarırız (180°-130°=50°). Üçgenin açıları 70°, 60° ve 50° oldu. Hepsi 90°’den küçük olduğu için bu bir dar açılı üçgendir. Anka’nın mantığı tamamen doğru.
Sonuç:
Bu diyalogda en doğru ve eksiksiz bilgiyi veren Anka‘dır.
b) Benzer şekilde dik açılı üçgenler ve geniş açılı üçgenler ile ilgili birer diyalog da siz oluşturunuz.
Elbette, haydi oluşturalım!
Dik Açılı Üçgen Diyaloğu:
Efe: Bence bir üçgenin dik açılı olduğunu anlamak için en az iki açısını bilmeliyiz.
Can: Hayır Efe, bence tek bir açı yeterli. Eğer bir üçgenin bir açısı 90° ise o üçgen kesinlikle dik açılı üçgendir.
Ada: Can haklı. Çünkü bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için, bir açı 90° ise diğer iki açının toplamı da 90° olmak zorundadır. Bu da o iki açının kesinlikle dar açı olduğunu gösterir. Yani bir tane 90°’yi görmek yeterlidir.
Geniş Açılı Üçgen Diyaloğu:
Zeynep: Bir üçgenin bir açısı geniş açıysa (90°’den büyükse) o üçgen geniş açılı mıdır?
Mert: Emin değilim Zeynep, ya diğer açıları da genişse?
Selin: Mert, bir üçgenin iki tane geniş açısı olamaz ki! Düşünsene, en küçük iki geniş açı 91° olsa bile toplamları 182° yapar. Bu da 180°’yi geçer. Bu yüzden bir üçgenin sadece bir tane geniş açısı olabilir. Zeynep’in dediği gibi, bir tane geniş açı bulmamız o üçgenin geniş açılı üçgen olduğunu anlamamız için yeterlidir.
Soru 13: İki çemberin birbirlerinin merkezlerinden geçmesi için merkezlerinin konumu ve yarıçap uzunlukları nasıl olmalıdır? Bir örnek üzerinden açıklayınız.
Çok güzel bir geometri sorusu! Bunu gözümüzde canlandırarak çözelim.
Adım 1: Hayal Edelim
İki tane nokta düşünelim. Biri A noktası, diğeri B noktası olsun. Bunlar çemberlerimizin merkezleri olacak.
Adım 2: Birinci Çemberi Çizelim
Şimdi pergelimizi A noktasına koyalım. Çizdiğimiz çemberin B noktasından geçmesini istiyoruz. Bunun için pergelimizi ne kadar açmalıyız? Tabii ki A ile B arasındaki uzaklık kadar! Bu uzaklık, birinci çemberin yarıçapı olur.
Adım 3: İkinci Çemberi Çizelim
Şimdi de pergelimizi B noktasına koyalım. Bu sefer de çizeceğimiz çemberin A noktasından geçmesini istiyoruz. O zaman pergelimizi B ile A arasındaki uzaklık kadar açmalıyız. Bu uzaklık da ikinci çemberin yarıçapı olur.
Adım 4: Sonucu Birleştirelim
Fark ettin mi? Her iki çemberin yarıçapı da A ve B noktaları arasındaki uzaklığa eşit oldu. Bu demek oluyor ki:
- İki çemberin yarıçapları birbirine eşit olmalıdır.
- Bu ortak yarıçap uzunluğu, aynı zamanda iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklığa da eşit olmalıdır.
Örnek:
Merkezleri arasında 6 cm uzaklık olan iki çember çizelim. Eğer bu çemberlerin birbirlerinin merkezlerinden geçmesini istiyorsak, hem birinci çemberin yarıçapı 6 cm, hem de ikinci çemberin yarıçapı 6 cm olmalıdır.
Umarım tüm çözümler anlaşılır olmuştur. Unutma, matematikte önemli olan adımları doğru takip etmek ve mantığını anlamaktır. Başarılar dilerim