Harika bir soru! Merhaba sevgili öğrencim, ben senin 5. Sınıf Matematik Öğretmenin. Gönderdiğin bu görseldeki soruları çok sevdim. Geometriyi ve şekilleri anlamak için harika bir alıştırma. Hadi şimdi bu soruları birlikte, adım adım çözelim ve çokgenlerin sırlarını keşfedelim!
Örnek 3
Aşağıdaki çokgenlerin kenar uzunluklarını cetvelle, açılarını açıölçerle ölçünüz. Bulduğunuz sonuçları aşağıdaki noktalı yerlere yazınız.
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için normalde bir cetvele ve bir açıölçere (ileti) ihtiyacımız var. Ama şu an yanımızda olmadığını varsayalım ve şekillerin özelliklerinden yola çıkarak mantık yürütelim. Ben sana bu şekillerin geometrideki tam karşılıklarını anlatacağım.
a) ABCDE Beşgeni
Bu şekle baktığımızda bütün kenarları ve açıları birbirine eşit gibi duruyor, değil mi? İşte böyle hem kenar uzunlukları hem de iç açıları birbirine eşit olan çokgenlere düzgün çokgen diyoruz. Bu şekil bir düzgün beşgendir.
Adım 1: Kenar Uzunlukları
Bu bir düzgün beşgen olduğu için bütün kenar uzunlukları birbirine eşittir. Cetvelle ölçtüğümüzü hayal edelim ve bir kenarının 25 mm (yani 2,5 cm) olduğunu varsayalım. O zaman bütün kenarları aynı uzunlukta olur.
|AB| = 25 mm
|BC| = 25 mm
|CD| = 25 mm
|DE| = 25 mm
|EA| = 25 mmAdım 2: Açı Ölçüleri
Düzgün beşgenin bütün iç açıları da birbirine eşittir. Bir düzgün beşgenin her bir iç açısı her zaman 108 derecedir. Açıölçerle ölçseydik bu sonucu bulacaktık.
m(Â) = 108°
m(B̂) = 108°
m(Ĉ) = 108°
m(D̂) = 108°
m(Ê) = 108°
b) KLMON Beşgeni
Bu şekle baktığımızda ise kenarlarının ve açılarının birbirinden farklı olduğunu hemen anlıyoruz. Mesela |MN| kenarı, |OK| kenarından daha uzun görünüyor. M ve N açıları dik açıya (90°) benzerken, K açısı daha geniş bir açı gibi duruyor. Bu bir düzgün çokgen değildir.
Adım 1: Kenar Uzunlukları ve Açı Ölçüleri
Bu şekil düzgün bir çokgen olmadığı için her kenarı ve açıyı ayrı ayrı ölçmemiz gerekir. Ölçüm yapamadığımız için boşlukları dolduramayız ama şunu kesin olarak söyleyebiliriz: Kenar uzunlukları ve açı ölçüleri birbirinden farklıdır.
Örneğin ölçtüğümüzü varsayarsak şöyle farklı sonuçlar bulabilirdik:
|KL| = 20 mm, |LM| = 20 mm, |MN| = 30 mm, |NO| = 20 mm, |OK| = 15 mm
m(K̂) = 110°, m(L̂) = 110°, m(M̂) = 90°, m(N̂) = 90°, m(Ô) = 140°(Not: Bu değerler tamamen tahmindir, önemli olan hepsinin eşit olmadığını anlamaktır.)
Yukarıdaki ABCDE beşgeninin kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olduğundan düzgün çokgendir. “ABCDE düzgün beşgeni” şeklinde okunur. Düzgün çokgenlerin dış açı ölçülerinin eşit olup olmadığını tartışınız.
Çözüm:
Harika bir düşünme sorusu! Bir iç açı ile onun komşusu olan dış açının toplamı her zaman 180°’dir. Düzgün çokgenlerde bütün iç açılar eşit olduğuna göre, o zaman bütün dış açılar da birbirine eşit olmak zorundadır.
Örneğin düzgün beşgenin bir iç açısı 108° idi. O zaman bir dış açısı: 180° – 108° = 72° olur. Bütün iç açılar 108° olduğu için, bütün dış açılar da 72° olacaktır. Yani evet, eşittir.
Örnek 4
Aşağıdaki eşkenar üçgenin iç açılarını ölçerek düzgün çokgen olup olmadığı hakkındaki düşüncelerinizi arkadaşlarınızla paylaşınız.
Çözüm:
Hadi bu güzel üçgeni inceleyelim.
Adım 1: Şekli Tanıyalım
Soruda bize bunun bir eşkenar üçgen olduğu söyleniyor. “Eşkenar” ne demekti? Bütün kenarları birbirine eş olan üçgen demekti. Düzgün çokgen olmanın ilk şartı neydi? Bütün kenarların eşit olması. Bu üçgen ilk şartı sağlıyor!
Adım 2: Açıları İnceleyelim
Şimdi ikinci şarta bakalım: Bütün iç açıları eşit mi? Eşkenar üçgenlerin en güzel özelliklerinden biri, bütün iç açılarının her zaman 60° olmasıdır. Bu hiç değişmez. Açıölçerinle ölçtüğünde de her bir açının 60° olduğunu göreceksin. Demek ki ikinci şartı da sağlıyor!
Sonuç
Eşkenar üçgenin hem bütün kenarları eşit hem de bütün iç açıları eşit (hepsi 60°) olduğu için, evet, eşkenar üçgen bir düzgün çokgendir. Ona “düzgün üçgen” de diyebiliriz.
Kare ve dikdörtgen çizimi yaparak çizdiklerinizin düzgün çokgen olup olmadıklarını inceleyiniz.
Çözüm:
Bu da çok güzel bir karşılaştırma sorusu.
Kare:
Bir kare çizdiğini düşün. Karenin bütün kenarları birbirine eşittir. Ayrıca bütün açıları da birbirine eşittir ve hepsi 90°’dir (dik açı). Hem kenarları hem de açıları eşit olduğu için kare, bir düzgün çokgendir. (Düzgün dörtgen olarak da bilinir.)
Dikdörtgen:
Şimdi de bir dikdörtgen çizelim. Dikdörtgenin bütün açıları birbirine eşittir ve hepsi 90°’dir. Buraya kadar güzel. Ama kenarlarına bakalım. Dikdörtgenin sadece karşılıklı kenarları birbirine eşittir. Bütün kenarları eşit değildir (uzun kenar ve kısa kenar vardır). Düzgün çokgen olmanın iki şartını da sağlaması gerekiyordu. Açıları eşit olsa bile kenarları eşit olmadığı için, dikdörtgen bir düzgün çokgen değildir.
Umarım bu açıklamalar çokgenleri daha iyi anlamana yardımcı olmuştur. Unutma, geometri şekilleri gözlemlemek ve özelliklerini keşfetmektir. Başka sorun olursa yine beklerim!