x ve y birer pozitif tam sayı olmak üzere,

@@2^x -= 1 (mod 13)@@ ve @@3^y -= 1 (mod 13)@@ denklikleri veriliyor.

Buna göre, @@x+y@@ toplamının alabileceği en küçük değer için, @@(x*y) mod 13@@ değeri kaçtır?

A) 1

B) 2

C) 5

D) 10

E) 12

Adım 1: @@2^x -= 1 (mod 13)@@ denkliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı x'i bulalım. 2'nin kuvvetlerini 13'e bölerek kalana bakalım: @@2^1=2@@, @@2^2=4@@, @@2^3=8@@, @@2^4=16 \equiv 3 (mod 13)@@, @@2^5=32 \equiv 6 (mod 13)@@, @@2^6=64 \equiv 12 \equiv -1 (mod 13)@@, @@2^{12} \equiv (-1)^2 \equiv 1 (mod 13)@@. Dolayısıyla en küçük x değeri 12'dir.

Adım 2: @@3^y -= 1 (mod 13)@@ denkliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı y'yi bulalım. 3'ün kuvvetlerini 13'e bölerek kalana bakalım: @@3^1=3@@, @@3^2=9@@, @@3^3=27 \equiv 1 (mod 13)@@. Dolayısıyla en küçük y değeri 3'tür.

Adım 3: @@x+y@@ toplamının en küçük değeri @@12+3=15@@'tir. Bizden @@(x*y) mod 13@@ değeri isteniyor. @@x=12@@ ve @@y=3@@ için @@x*y = 12*3 = 36@@ olur. @@36 mod 13@@ ise @@36 = 2*13 + 10@@ olduğundan 10'dur.