D) (5, -6)
Açıklama:
Merhaba! Bu problemde, bir drone'un test uçuşu yaptığı dörtgen şeklindeki bir alanın üç köşesi ve toplam alanı verilmiş. Bizden dördüncü köşenin koordinatlarını bulmamız isteniyor.
Adım adım gidelim ve olayı netleştirelim!
1. Verilenleri Anlayalım Önce bize ne verildiğine bir bakalım:
- Test sahası bir dörtgen şeklindeymiş.
- Dörtgenin alanı @@119 br^2@@ imiş.
- Üç köşenin koordinatları verilmiş:
- x ekseni üzerindeki @@-5@@ noktası, yani @@A(-5, 0)@@. (Unutma, x ekseni üzerindeki noktaların y koordinatı 0'dır.)
- x ekseni üzerindeki @@12@@ noktası, yani @@B(12, 0)@@.
- @@C(3, 8)@@ noktası.
- Dördüncü köşenin koordinatlarını bulmamız gerekiyor. Buna şimdilik @@D(x, y)@@ diyelim.
2. Köşelerin Yerlerini ve Şekli Hayal Edelim
- A(@@-5, 0@@) ve B(@@12, 0)@@ noktaları x ekseni üzerinde. Bu iki nokta arasındaki uzaklık, bu dörtgenin bir kenarı ya da bir köşegeni olabilir. Bu uzaklık @@12 - (-5) = 17@@ birimdir.
- C(@@3, 8)@@ noktası x ekseninin yukarısında (çünkü y koordinatı 8, yani pozitif).
- Seçeneklerdeki dördüncü köşelere baktığımızda (A: (5, -3), B: (-9, -4), C: (-1, -11), D: (5, -6)), hepsinin y koordinatının negatif olduğunu görüyoruz. Bu da demek oluyor ki dördüncü köşe (D) x ekseninin altında bir yerdedir.
Bu durumda, A ve B noktaları x ekseninde, C noktası x ekseninin üstünde, D noktası ise x ekseninin altında kalıyor. Bu, AB doğru parçasının dörtgenin bir köşegeni olduğu anlamına gelir. Bu köşegen, dörtgeni iki üçgene ayırır: Üçgen ABC ve Üçgen ABD.
Dörtgenin toplam alanı, bu iki üçgenin alanlarının toplamıdır.
3. Üçgen ABC'nin Alanını Hesaplayalım
- Üçgenin alan formülü: @@(1/2) * taban * yükseklik@@.
- Taban olarak AB doğru parçasını alalım. AB'nin uzunluğu @@17@@ birimdi (@@12 - (-5) = 17@@).
- Yükseklik ise C noktasının AB tabanına olan dik uzaklığıdır. AB x ekseni üzerinde olduğu için, C noktasının x eksenine olan uzaklığı C'nin y koordinatının mutlak değeridir. C(@@3, 8)@@ olduğu için yükseklik @@8@@ birimdir.
- Şimdi Alan(ABC)'yi hesaplayalım:
@@Alan(ABC) = (1/2) * 17 * 8@@ @@Alan(ABC) = 17 * 4@@ @@Alan(ABC) = 68 br^2@@.
4. Üçgen ABD'nin Alanını Bulalım
- Dörtgenin toplam alanı @@119 br^2@@ idi. Üçgen ABC'nin alanını @@68 br^2@@ bulduk.
- Toplam alan, Üçgen ABC ve Üçgen ABD'nin alanlarının toplamı olduğuna göre:
@@Alan(ABD) = Toplam Alan - Alan(ABC)@@ @@Alan(ABD) = 119 - 68@@ @@Alan(ABD) = 51 br^2@@.
5. D Noktasının y Koordinatını Hesaplayalım
- Şimdi D(@@x, y)@@ noktasını kullanarak Üçgen ABD'nin alanını bulmuştuk (@@51 br^2@@).
- Yine taban olarak AB doğru parçasını alalım, uzunluğu @@17@@ birim.
- Yükseklik ise D noktasının AB tabanına olan dik uzaklığıdır. Yani D noktasının y koordinatının mutlak değeridir (@@|y|@@).
- Bu durumda Alan(ABD) formülünü tekrar yazalım:
@@Alan(ABD) = (1/2) * taban * yükseklik@@ @@51 = (1/2) * 17 * |y|@@ @@51 = 8. 5 * |y|@@
- Şimdi @@|y|@@ değerini bulmak için @@51@@'i @@8.5@@'a bölelim:
@@|y| = 51 / 8. 5@@ (Kesirlerle işlem yapmak daha kolay olabilir: @@8. 5 = 17/2@@) @@|y| = 51 / (17/2)@@ @@|y| = 51 * (2/17)@@ (Bölme işlemi ters çevirip çarpmadır) @@|y| = (51/17) * 2@@ (51, 17'nin 3 katıdır) @@|y| = 3 * 2@@ @@|y| = 6@@.
- D noktasının y koordinatının mutlak değeri @@6@@'dır. Daha önce de dediğimiz gibi, D noktası x ekseninin altında olduğu için y koordinatının negatif olması gerekir.
- Bu durumda @@y = -6@@ olmalıdır.
6. Seçenekleri Kontrol Edelim Dördüncü köşenin y koordinatını @@-6@@ olarak bulduk. Şimdi seçeneklere bakalım ve y koordinatı @@-6@@ olanı bulalım: A) (5, -3) B) (-9, -4) C) (-1, -11) D) (5, -6)
Gördüğün gibi, sadece D seçeneğindeki noktanın y koordinatı @@-6@@'dır. D noktasının x koordinatı (5) bu hesaplamada alanı etkilemez, çünkü yükseklik sadece y koordinatına bağlıydı.
Bu yüzden doğru cevabımız D) (5, -6) seçeneğidir.