İki özdeş, ileri teknoloji uzay aracı, A ve B, birbirlerine göre sabit ve yüksek hızlarla hareket etmektedirler. Dünya'da hareketsiz duran bir O gözlemcisi, A uzay aracının +x yönünde @@0.8c@@ hızıyla, B uzay aracının ise -x yönünde @@0.6c@@ hızıyla hareket ettiğini gözlemlemektedir. A uzay aracının kendi referans sisteminde ölçülen boyu @@L_0@@'dır.

B uzay aracındaki bir gözlemciye göre A uzay aracının boyu kaç @@L_0@@ olarak ölçülür?

A) @@(12/37)L_0@@

B) @@(3/5)L_0@@

C) @@(4/5)L_0@@

D) @@(12/35)L_0@@

E) @@(37/12)L_0@@

Açıklama

Bu soru, Albert Einstein'ın Özel Görelilik Teorisi'nin iki önemli sonucunu bir araya getiriyor: bağıl hızların toplanması ve uzunluk büzülmesi. Bir cismin uzunluğu, ona göre durgun olan (yani aynı referans sisteminde bulunan) bir gözlemci tarafından ölçüldüğünde en büyük değerini alır. Bu uzunluğa öz boy (veya durgun boy) denir.

Eğer cisim, gözlemciye göre hareket ediyorsa, hareket doğrultusundaki boyu daha kısa ölçülür. Bu olaya uzunluk büzülmesi denir. Ancak, uzunluk büzülmesinin miktarını bulmak için, cisim ile gözlemci arasındaki bağıl hızı bilmemiz gerekir.

Adım 1: A Uzay Aracının B Gözlemcisine Göre Bağıl Hızını Bulma

Soruda, Dünya'daki O gözlemcisine göre A ve B uzay araçlarının hızları verilmiş. Bizim ilk yapmamız gereken, B uzay aracındaki gözlemcinin A uzay aracını hangi hızla gördüğünü bulmak. Bu, Özel Görelilik Teorisi'ndeki hız toplama formülü ile yapılır, çünkü klasik fizikteki basit hız toplama formülü (@@v_bağıl = v_A - v_B@@) ışık hızına yakın hızlarda geçerli değildir.

- O gözlemcisine göre A'nın hızı: @@v_A = +0.8c@@ (pozitif x yönünde)

- O gözlemcisine göre B'nin hızı: @@v_B = -0.6c@@ (negatif x yönünde)

A'nın B'ye göre hızı (@@v_AB@@) aşağıdaki formülle bulunur: @@v_AB = (v_A - v_B) / (1 - (v_A * v_B) / c^2)@@

Şimdi değerleri yerine yazalım: @@v_AB = (0. 8c - (-0. 6c)) / (1 - (0.

8c * -0. 6c) / c^2)@@ @@v_AB = (0. 8c + 0.

6c) / (1 - (-0. 48c^2) / c^2)@@ @@v_AB = (1. 4c) / (1 + 0.

48)@@ @@v_AB = (1. 4c) / (1. 48)@@

Bu ifadeyi sadeleştirelim: @@v_AB = (140c) / 148@@ (Pay ve paydayı 100 ile çarptık) Şimdi hem payı hem de paydayı 4'e bölelim: @@v_AB = (35c) / 37@@

Yani, B uzay aracındaki gözlemciye göre A uzay aracı @@(35/37)c@@ hızıyla hareket etmektedir. Bu hız, ışık hızından küçük ve beklediğimiz gibi @@0. 8c@@ ve @@0.

6c@@ hızlarından daha büyük bir değerdir.

Adım 2: Uzunluk Büzülmesi Formülünü Uygulama

Şimdi, B uzay aracındaki gözlemcinin, A uzay aracının boyunu nasıl ölçeceğini bulmak için uzunluk büzülmesi formülünü kullanacağız.

- A uzay aracının kendi referans sisteminde ölçülen boyu (öz boyu): @@L_0@@

- B uzay aracındaki gözlemcinin ölçeceği boy (büzülmüş boy): @@L_AB@@

- A'nın B'ye göre bağıl hızı: @@v_AB = (35/37)c@@

Uzunluk büzülmesi formülü şöyledir: @@L_AB = L_0 * sqrt(1 - (v_AB^2 / c^2))@@

Şimdi bulduğumuz bağıl hızı formülde yerine yazalım: @@L_AB = L_0 * sqrt(1 - (((35/37)c)^2 / c^2))@@ @@L_AB = L_0 * sqrt(1 - ((35/37)^2 * c^2 / c^2))@@ @@L_AB = L_0 * sqrt(1 - (35/37)^2)@@ @@L_AB = L_0 * sqrt(1 - (1225 / 1369))@@

Karekök içindeki çıkarma işlemini yapalım: @@1 - (1225 / 1369) = (1369 / 1369) - (1225 / 1369) = (1369 - 1225) / 1369 = 144 / 1369@@

Şimdi bu değeri formülde yerine koyalım: @@L_AB = L_0 * sqrt(144 / 1369)@@ Karekökleri alalım: @@sqrt(144) = 12@@ @@sqrt(1369) = 37@@

Sonuç olarak: @@L_AB = L_0 * (12 / 37)@@ Yani, @@L_AB = (12/37)L_0@@

Adım 3: Sonucun Yorumlanması

B uzay aracındaki bir gözlemciye göre A uzay aracının boyu, kendi öz boyu olan @@L_0@@'dan daha kısa olarak ölçülür. Bu durum, uzunluk büzülmesi prensibine tamamen uygundur. Hesapladığımız oran @@12/37@@'dir ve bu değer 1'den küçüktür, bu da büzülmenin gerçekleştiğini gösterir.

Bu sonuç A seçeneği ile eşleşmektedir.