Durgun kütlesi @@m_e@@ olan bir elektron, kinetik enerjisi @@E_k = 0.1*m_e*c^2@@ olacak şekilde hızlandırılıyor.

Bu elektronun de Broglie dalga boyu aşağıdakilerden hangisidir?

A) @@h / (sqrt(0.21)*m_e*c)@@

B) @@h / (sqrt(0.2)*m_e*c)@@

C) @@h / (1.1*m_e*c)@@

D) @@h / (0.1*m_e*c)@@

E) @@h / (m_e*c)@@

Bu soruda, kinetik enerjisi verilen bir elektronun de Broglie dalga boyunu bulmamız isteniyor. Elektronun kinetik enerjisi, durgun kütle enerjisinin yüzde 10'u kadar olduğu için, bu enerji değeri klasik fizik yaklaşımları için çok büyük sayılır. Bu durumda, ışık hızına yakın hızlarda hareket eden parçacıklar için geçerli olan özel görelilik teorisi prensiplerini kullanmamız gerekiyor.

Adım 1: Elektronun Toplam Enerjisini Hesaplama

- Bir parçacığın durgun kütle enerjisi (ya da dinlenim enerjisi) @@E_0 = m_e*c^2@@ formülüyle bulunur. Burada @@m_e@@ elektronun durgun kütlesi, @@c@@ ise ışık hızıdır. Bu, parçacık hiç hareket etmiyorken sahip olduğu enerjidir.

- Soruda elektronun kinetik enerjisi @@E_k = 0.1*m_e*c^2@@ olarak verilmiş. Bu, hareketinden dolayı sahip olduğu enerjidir.

- Elektronun toplam enerjisi (@@E@@), durgun kütle enerjisi ile kinetik enerjisinin toplamıdır:

@@E = E_0 + E_k@@ @@E = m_e*c^2 + 0. 1*m_e*c^2@@ @@E = (1 + 0. 1)*m_e*c^2@@ @@E = 1.

1*m_e*c^2@@

Adım 2: Elektronun Momentumunu Hesaplama

- Özel görelilik teorisinde, bir parçacığın toplam enerjisi, momentumu ve durgun kütle enerjisi arasındaki ilişki şu formülle verilir:

@@E^2 = (p*c)^2 + (m_e*c^2)^2@@ Burada @@p@@ elektronun momentumu, @@c@@ ışık hızıdır.

- Bizim amacımız @@p@@'yi bulmak, bu yüzden formülü @@p@@ için düzenleyelim:

@@(p*c)^2 = E^2 - (m_e*c^2)^2@@ @@p*c = sqrt(E^2 - (m_e*c^2)^2)@@ @@p = (1/c) * sqrt(E^2 - (m_e*c^2)^2)@@

- Şimdi, Adım 1'de bulduğumuz @@E = 1.1*m_e*c^2@@ değerini bu denkleme yerine koyalım:

@@p = (1/c) * sqrt((1. 1*m_e*c^2)^2 - (m_e*c^2)^2)@@ @@p = (1/c) * sqrt(1. 21*(m_e*c^2)^2 - (m_e*c^2)^2)@@ @@p = (1/c) * sqrt((m_e*c^2)^2 * (1.

21 - 1))@@ (Ortak terim olan @@(m_e*c^2)^2@@ parantezine aldık) @@p = (1/c) * sqrt((m_e*c^2)^2 * 0. 21)@@ @@p = (1/c) * (m_e*c^2) * sqrt(0. 21)@@ (Karekök dışına çıkan terimleri çıkardık) @@p = m_e*c * sqrt(0.

21)@@ (@@c@@'ler sadeleşti)

Adım 3: de Broglie Dalga Boyunu Hesaplama

- de Broglie dalga boyu (@@lambda@@), bir parçacığın momentumu ile şu şekilde ilişkilidir:

@@lambda = h / p@@ Burada @@h@@ Planck sabiti, @@p@@ ise parçacığın momentumudur.

- Adım 2'de bulduğumuz @@p = m_e*c * sqrt(0.21)@@ değerini bu formülde yerine koyalım:

@@lambda = h / (m_e*c * sqrt(0. 21))@@

Bu sonuç, seçenek A ile aynıdır.

Bu nedenle, elektronun de Broglie dalga boyu @@h / (sqrt(0. 21)*m_e*c)@@'dir.