A) (1/2, 1/2)
Açıklama:
Bu soruda, bir noktanın başka bir nokta etrafında döndürülmesi ve elde edilen yeni noktanın koordinat düzlemindeki konumuyla ilgili bilgiler veriliyor. Bize başlangıç noktası, dönme merkezi ve dönme açısı verildikten sonra, yeni noktanın konumuyla ilgili bir ipucu kullanılarak dönme merkezinin koordinatlarını bulmamız isteniyor.
Soruyu Anlayalım: Elimizde A(1, 3) noktası var. B noktası @@y = x@@ doğrusu üzerinde, yani koordinatları @@B(b, b)@@ şeklinde. AB doğru parçası, B noktası etrafında saat yönünde @@90^\circ@@ döndürüldüğünde A noktasının yeni konumu A' oluyor.
Bu A' noktası da x ekseni üzerinde yer alıyor. Bize B noktasının koordinatları soruluyor.
Adım 1: B Noktasının Koordinatlarını Belirleme
Soruda B noktasının @@y = x@@ doğrusu üzerinde olduğu belirtiliyor. Bu, B noktasının x ve y koordinatlarının birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Bu yüzden B noktasının koordinatlarını @@B(b, b)@@ olarak kabul edebiliriz.
Amacımız bu 'b' değerini bulmak.
Adım 2: Dönme İşlemini Anlama
Bir noktanın başka bir nokta etrafında döndürülmesi işlemi için genel bir formül kullanabiliriz. Eğer bir @@P(x, y)@@ noktası, bir @@C(x_C, y_C)@@ noktası etrafında saat yönünde @@90^\circ@@ döndürülürse, yeni konumu @@P'(x', y')@@ şu şekilde bulunur: @@x' = (y - y_C) + x_C@@ @@y' = -(x - x_C) + y_C@@
Bu formülü kullanarak A noktasını B etrafında döndüreceğiz.
Adım 3: A Noktasını B Etrafında Döndürme
Şimdi elimizdeki değerleri formüle yerleştirelim:
- Döndürülecek nokta @@A(x_A, y_A) = A(1, 3)@@
- Dönme merkezi @@B(x_B, y_B) = B(b, b)@@
- Yeni nokta @@A'(x', y')@@
Formülü uygulayalım: @@x' = (y_A - y_B) + x_B@@ @@x' = (3 - b) + b@@ @@x' = 3 - b + b@@ @@x' = 3@@
@@y' = -(x_A - x_B) + y_B@@ @@y' = -(1 - b) + b@@ @@y' = -1 + b + b@@ @@y' = 2b - 1@@
Buna göre, A noktasının B etrafında saat yönünde @@90^\circ@@ döndürülmesiyle elde edilen A' noktasının koordinatları @@A'(3, 2b - 1)@@ olur.
Adım 4: A' Noktasının Özelliğini Kullanma
Soruda A' noktasının x ekseni üzerinde olduğu belirtiliyor. x ekseni üzerindeki tüm noktaların y koordinatı 0'dır. O halde, A' noktasının y koordinatını 0'a eşitlemeliyiz: @@2b - 1 = 0@@
Adım 5: B Noktasının Koordinatlarını Bulma
Şimdi 'b' değerini bulmak için denklemi çözelim: @@2b - 1 = 0@@ @@2b = 1@@ @@b = 1/2@@
B noktasının koordinatları @@B(b, b)@@ olarak belirlenmişti. 'b' değerini yerine koyduğumuzda: @@B(1/2, 1/2)@@
Bu durumda B noktasının koordinatları @@(1/2, 1/2)@@'dir.
Doğru cevap A seçeneğidir.